Fonctions logarithmiques et exponentielles

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Calculs avec les fonctions logarithme et exponentielle5 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Fonctions exponentielles

   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : (a) l'équation $\ln (x-1)+\ln (x+2)=\ln 4$ ; (0,75 pt) (b) l'équation $e^{2x}-4e^x+3=0$ ; (0,75 pt) (c) l'inéquation $\ln (2x-1)\le 0$. (0,75 pt)
   2. Calculer les limites suivantes : (a) ${\lim }_{x\to +\infty }(\ln x-2x)$ ; (0,5 pt) (b) ${\lim }_{x\to +\infty }(x^2-3)e^{-x}$ ; (0,5 pt) (c) ${\lim }_{x\to -\infty }(x+2)e^x$. (0,5 pt)
   3. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué : (a) $f(x)=x^2\ln x$ sur $]0,+\infty [$ ; (0,5 pt) (b) $g(x)=(x+1)e^{-2x}$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt)
   4. Simplifier le nombre $A=\ln (e^3)-\ln (\frac{1}{e})+e^{\ln 4}$. (0,25 pt)
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   1. (a) L'équation est définie si $x-1>0$ et $x+2>0$, c'est-à-dire $x>1$. Pour $x>1$ : $\ln (x-1)+\ln (x+2)=\ln 4\iff \ln ((x-1)(x+2))=\ln 4\iff (x-1)(x+2)=4\iff x^2+x-6=0$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante, donc injective). Le discriminant vaut $\Delta =1+24=25$, d'où les racines $x=\frac{-1-5}{2}=-3$ et $x=\frac{-1+5}{2}=2$. Seule la valeur $2$ vérifie $x>1$ : $S=2$. (b) On pose $X=e^x$, avec $X>0$. L'équation devient $X^2-4X+3=0$, de discriminant $\Delta =16-12=4$, de racines $X=1$ et $X=3$ (toutes deux strictement positives). $e^x=1\iff x=0$ et $e^x=3\iff x=\ln 3$. Donc $S=0,\ln 3$. (c) L'inéquation est définie si $2x-1>0$, c'est-à-dire $x>\frac{1}{2}$. Pour $x>\frac{1}{2}$ : $\ln (2x-1)\le 0\iff \ln (2x-1)\le \ln 1\iff 2x-1\le 1\iff x\le 1$ (car $\ln$ est strictement croissante). Donc $S=]\frac{1}{2},1]$.
   2. (a) Pour $x>0$ : $\ln x-2x=x(\frac{\ln x}{x}-2)$. Or ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x}=0$ (croissance comparée), donc la parenthèse tend vers $-2$ et, comme $x\to +\infty$ : ${\lim }_{x\to +\infty }(\ln x-2x)=-\infty$. (b) $(x^2-3)e^{-x}=\frac{x^2}{e^x}-\frac{3}{e^x}$. Par croissance comparée, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{e^x}{x^2}=+\infty$ donc ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^2}{e^x}=0$ ; de plus ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3}{e^x}=0$. Donc ${\lim }_{x\to +\infty }(x^2-3)e^{-x}=0$. (c) $(x+2)e^x=x{e}^x+2e^x$. Par croissance comparée, ${\lim }_{x\to -\infty }x{e}^x=0$, et ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x=0$. Donc ${\lim }_{x\to -\infty }(x+2)e^x=0$.
   3. (a) $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ comme produit de fonctions dérivables : $f^{\prime }(x)=2x\ln x+x^2\times \frac{1}{x}=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$. (b) $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, avec $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$ : $g^{\prime }(x)=1\times e^{-2x}+(x+1)\times (-2e^{-2x})=(1-2x-2)e^{-2x}=-(2x+1)e^{-2x}$.
   4. $\ln (e^3)=3$, $\ln (\frac{1}{e})=-\ln e=-1$ et $e^{\ln 4}=4$. Donc $A=3-(-1)+4=8$.

2. Exercice 2Suite géométrique et modèle exponentiel : chiffre d'affaires d'une entreprise5 pts

   Chapitres : Suites numériques (convergence + finance) · Fonctions logarithmiques · Fonctions exponentielles

   Une entreprise a réalisé un chiffre d'affaires de $500000$ DH en 2025. Elle prévoit une hausse de $4\%$ par an de son chiffre d'affaires. On note $u_n$ le chiffre d'affaires prévu pour l'année $2025+n$, exprimé en milliers de dirhams ; ainsi $u_0=500$.

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (0,5 pt)
   2. Justifier que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$. (0,75 pt)
   3. Calculer le chiffre d'affaires prévu pour 2035 (arrondir au millier de dirhams). (0,5 pt)
   4. Déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires dépassera le double de celui de 2025. (1 pt)
   5. Calculer le chiffre d'affaires cumulé $S=u_0+u_1+\dots +u_9$ sur les dix années 2025 à 2034 (arrondir au millier de dirhams). (0,75 pt)
   6. On modélise l'évolution du chiffre d'affaires par la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty [$ par $f(x)=500e^{0,0392x}$. (a) En utilisant l'égalité $1,04=e^{\ln 1,04}$, expliquer pourquoi $f(n)\approx u_n$ pour tout entier naturel $n$. (0,5 pt) (b) Calculer $f^{\prime }(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $[0,+\infty [$. (0,5 pt) (c) Résoudre l'équation $f(x)=1000$ (arrondir la solution à $10^{-2}$ près) et comparer avec le résultat de la question 4. (0,5 pt)
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   1. Une hausse de $4\%$ revient à multiplier par $1+\frac{4}{100}=1,04$ : $u_1=500\times 1,04=520$ et $u_2=520\times 1,04=540,8$ (en milliers de dirhams).
   2. Chaque année, le chiffre d'affaires est multiplié par $1,04$ : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1,04u_n$. La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,04$ et de premier terme $u_0=500$, d'où $u_n=500\times 1,04^n$.
   3. L'année 2035 correspond à $n=10$ : $u_{10}=500\times 1,04^{10}\approx 500\times 1,48024\approx 740,12$. Le chiffre d'affaires prévu pour 2035 est d'environ $740000$ DH.
   4. Le double du chiffre d'affaires de 2025 est $1000$ milliers de dirhams. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n>1000$ : $500\times 1,04^n>1000\iff 1,04^n>2\iff n\ln 1,04>\ln 2\iff n>\frac{\ln 2}{\ln 1,04}$ (on a appliqué la fonction $\ln$, strictement croissante, puis divisé par $\ln 1,04>0$). Or $\frac{\ln 2}{\ln 1,04}\approx \frac{0,6931}{0,0392}\approx 17,68$, donc $n\ge 18$. Le chiffre d'affaires dépassera le double de celui de 2025 à partir de l'année $2025+18=2043$.
   5. $S$ est la somme des $10$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $1,04$ : $S=u_0\times \frac{1,04^{10}-1}{1,04-1}=500\times \frac{1,48024-1}{0,04}=500\times \frac{0,48024}{0,04}=500\times 12,006=6003$. Le chiffre d'affaires cumulé sur les dix années est d'environ $6003000$ DH.
   6. (a) Comme $1,04=e^{\ln 1,04}$, on a $1,04^n=(e^{\ln 1,04}{)}^n=e^{n\ln 1,04}$. Avec $\ln 1,04\approx 0,0392$ : $u_n=500\times 1,04^n=500e^{n\ln 1,04}\approx 500e^{0,0392n}=f(n)$. (b) $f^{\prime }(x)=500\times 0,0392e^{0,0392x}=19,6e^{0,0392x}$. Comme $e^{0,0392x}>0$ pour tout $x$, $f^{\prime }(x)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$. (c) $f(x)=1000\iff e^{0,0392x}=2\iff 0,0392x=\ln 2\iff x=\frac{\ln 2}{0,0392}\approx \frac{0,6931}{0,0392}\approx 17,68$. Dans le modèle continu, le chiffre d'affaires double au bout d'environ $17,68$ années, c'est-à-dire au cours de la $18$ᵉ année : on retrouve le résultat de la question 4 (le premier chiffre d'affaires annuel supérieur au double est celui de $n=18$).

3. Exercice 3Étude d'une fonction exponentielle10 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+2)e^{-x}$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 2 cm).

   1. Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$. (0,75 pt)
   2. Montrer que ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ et interpréter graphiquement ce résultat. (1 pt)
   3. Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x$ et interpréter graphiquement ce résultat. (0,75 pt)
   4. Montrer que pour tout réel $x$ : $f^{\prime }(x)=-(x+1)e^{-x}$. (0,75 pt)
   5. Dresser le tableau de variations de $f$. (1 pt)
   6. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ et montrer que $(\mathcal{C})$ admet un point d'inflexion $I$ dont on précisera les coordonnées. (1 pt)
   7. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $I$. (0,5 pt)
   8. (a) Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0,+\infty [$. (1 pt) (b) Montrer que $\alpha$ vérifie $\ln (\alpha +2)=\alpha$. (0,5 pt) (c) Vérifier que $1,1<\alpha <1,2$. (0,5 pt)
   9. Tracer $(T)$ et $(\mathcal{C})$ (on prendra $f(-1)\approx 2,7$ et $f(2)\approx 0,5$). (1 pt)
   10. Discuter, suivant les valeurs du réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$. (1,25 pt)
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   1. Quand $x\to -\infty$ : $x+2\to -\infty$ et $e^{-x}\to +\infty$ (car $-x\to +\infty$). Par produit, ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$.
   2. Pour tout réel $x$ : $f(x)=x{e}^{-x}+2e^{-x}=\frac{x}{e^x}+\frac{2}{e^x}$. Par croissance comparée, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{e^x}{x}=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{e^x}=0$ ; de plus ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2}{e^x}=0$. Donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$. Interprétation : l'axe des abscisses (droite d'équation $y=0$) est une asymptote horizontale à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.
   3. Pour $x\ne 0$ : $f(x)/x=(\frac{x+2}{x})e^{-x}=(1+\frac{2}{x})e^{-x}$. Quand $x\to -\infty$, $1+\frac{2}{x}\to 1$ et $e^{-x}\to +\infty$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x=+\infty$. Interprétation : comme ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x=+\infty$, la courbe $(\mathcal{C})$ admet en $-\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
   4. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables, avec $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$ : $f^{\prime }(x)=1\times e^{-x}+(x+2)\times (-e^{-x})=(1-x-2)e^{-x}=-(x+1)e^{-x}$.
   5. Comme $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)$ a le signe de $-(x+1)$ : $f^{\prime }(x)>0$ pour $x<-1$, $f^{\prime }(-1)=0$ et $f^{\prime }(x)<0$ pour $x>-1$. $f(-1)=(-1+2)e^1=e$. Tableau de variations : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ,-1]$, de $-\infty$ à $e$, puis strictement décroissante sur $[-1,+\infty [$, de $e$ à $0$ (limite non atteinte). Elle admet un maximum égal à $e$ en $x=-1$.
   6. $f^{\prime }(x)=-(x+1)e^{-x}$, donc $f^{\prime \prime }(x)=-[1\times e^{-x}+(x+1)\times (-e^{-x})]=-(1-x-1)e^{-x}=x{e}^{-x}$. $f^{\prime \prime }(x)$ a le signe de $x$ : $f^{\prime \prime }(x)<0$ sur $]-\infty ,0[$ et $f^{\prime \prime }(x)>0$ sur $]0,+\infty [$. Ainsi $(\mathcal{C})$ est concave sur $]-\infty ,0]$, convexe sur $[0,+\infty [$, et $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe en $0$ : le point $I(0,f(0))=I(0,2)$ est un point d'inflexion de $(\mathcal{C})$.
   7. $f(0)=2$ et $f^{\prime }(0)=-(0+1)e^0=-1$, donc $(T):y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)$, soit $(T):y=-x+2$.
   8. (a) Sur $[0,+\infty [$, $f$ est continue (produit de fonctions continues) et strictement décroissante (question 5, car $0>-1$), avec $f(0)=2$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$. Comme ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0<1$, il existe un réel $b>0$ tel que $f(b)<1$ ; on a alors $f(b)<1<f(0)$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution dans $]0,b[$, et cette solution est unique sur $[0,+\infty [$ car $f$ y est strictement décroissante. Comme $f(0)=2\ne 1$, cette solution $\alpha$ appartient à $]0,+\infty [$. (b) $f(\alpha )=1\iff (\alpha +2)e^{-\alpha }=1\iff \alpha +2=e^{\alpha }$ (on a multiplié par $e^{\alpha }>0$). Comme $\alpha +2>0$, on peut appliquer $\ln$ : $\ln (\alpha +2)=\ln (e^{\alpha })=\alpha$. (c) $f(1,1)=3,1\times e^{-1,1}\approx 3,1\times 0,333\approx 1,032>1$ et $f(1,2)=3,2\times e^{-1,2}\approx 3,2\times 0,301\approx 0,963<1$. Ainsi $f(1,2)<f(\alpha )<f(1,1)$ et, $f$ étant strictement décroissante sur $[0,+\infty [$, on obtient $1,1<\alpha <1,2$.
   9. Tracé : on place le maximum $(-1,e)\approx (-1;2,7)$ (tangente horizontale), le point d'inflexion $I(0,2)$ avec sa tangente $(T):y=-x+2$, le point $(-2,0)$ où $(\mathcal{C})$ coupe l'axe des abscisses, le point $(2,f(2))\approx (2;0,5)$ et le point d'abscisse $\alpha \approx 1,15$ où $(\mathcal{C})$ coupe la droite $y=1$. À gauche, la courbe descend vers $-\infty$ (branche parabolique verticale) ; à droite, elle se rapproche de l'axe des abscisses en restant au-dessus.
   10. Le nombre de solutions de $f(x)=m$ est le nombre de points d'intersection de $(\mathcal{C})$ avec la droite horizontale d'équation $y=m$. On lit le tableau de variations : sur $]-\infty ,-1]$, $f$ est continue et strictement croissante de $-\infty$ à $e$ : l'équation $f(x)=m$ y admet exactement une solution si $m\le e$, aucune si $m>e$ ; sur $[-1,+\infty [$, $f$ est continue et strictement décroissante de $e$ à $0$ (non atteint) : l'équation y admet exactement une solution si $0<m\le e$, aucune sinon. En regroupant (la solution $x=-1$ pour $m=e$ est commune aux deux intervalles) : si $m>e$ : aucune solution ; si $m=e$ : une solution unique, $x=-1$ ; si $0<m<e$ : deux solutions distinctes, l'une dans $]-\infty ,-1[$ et l'autre dans $]-1,+\infty [$ ; si $m\le 0$ : une solution unique, située dans $]-\infty ,-2]$.