Dénombrement, logarithme décimal et limites

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Dénombrement6 pts

   Chapitre : Dénombrement

   Le service commercial d'une entreprise compte $12$ employés : $7$ femmes et $5$ hommes.

   1. Combien de comités de $3$ personnes peut-on former ? (1 pt)
   2. Combien de comités de $3$ personnes comportant exactement $2$ femmes peut-on former ? (1 pt)
   3. Combien de comités de $3$ personnes comportant au moins un homme peut-on former ? (1 pt)
   4. On veut désigner parmi les $12$ employés un directeur, un adjoint et un trésorier, ces trois postes étant occupés par trois personnes différentes. Combien y a-t-il de façons de le faire ? (1 pt)
   5. Le coffre du service est protégé par un code de $4$ chiffres (de $0$ à $9$). (a) Combien de codes différents existe-t-il ? (0,5 pt) (b) Combien de codes formés de $4$ chiffres deux à deux distincts existe-t-il ? (0,5 pt)
   6. Développer $(2x-1{)}^4$ à l'aide de la formule du binôme de Newton. (1 pt)
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   1. Un comité est un sous-ensemble de $3$ personnes parmi $12$ (l'ordre n'a pas d'importance) : il y a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=\frac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}=220$ comités possibles.
   2. On choisit $2$ femmes parmi $7$ puis $1$ homme parmi $5$ ; d'après le principe multiplicatif : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)=21\times 5=105$ comités.
   3. Le contraire de « au moins un homme » est « aucun homme », c'est-à-dire « trois femmes » : il y a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=\frac{7\times 6\times 5}{6}=35$ comités formés de trois femmes. Donc le nombre de comités comportant au moins un homme est $220-35=185$.
   4. Les trois postes sont différents, donc l'ordre compte : il s'agit d'un arrangement de $3$ personnes parmi $12$ : $A_{12}^3=12\times 11\times 10=1320$ façons.
   5. (a) Chaque chiffre peut prendre $10$ valeurs et les chiffres peuvent se répéter ; d'après le principe multiplicatif, il y a $10^4=10000$ codes. (b) Les $4$ chiffres sont distincts et ordonnés : il s'agit d'un arrangement de $4$ chiffres parmi $10$ : $A_{10}^4=10\times 9\times 8\times 7=5040$ codes.
   6. D'après la formule du binôme de Newton, avec $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=1$, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ : $(2x-1{)}^4=(2x{)}^4+4(2x{)}^3(-1)+6(2x{)}^2(-1{)}^2+4(2x)(-1{)}^3+(-1{)}^4$, soit $(2x-1{)}^4=16x^4-32x^3+24x^2-8x+1$.

2. Exercice 2Logarithme décimal7 pts

   Chapitre : Logarithme décimal

   On pose $a=\log 2$ et $b=\log 3$.

   1. Exprimer en fonction de $a$ et $b$ les nombres $\log 12$, $\log 1,5$ et $\log 0,2$. (1,5 pt)
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\log (x+3)+\log x=1$. (1,5 pt)
   3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\log (3x-1)\le \log (x+5)$. (1,5 pt)
   4. Déterminer le nombre de chiffres de l'entier $6^{50}$. (1 pt)
   5. La population d'une ville est de $200000$ habitants en 2025 et augmente de $2\%$ par an. On note $P_n$ la population $n$ années après 2025. (a) Exprimer $P_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt) (b) À partir de quelle année la population dépassera-t-elle $300000$ habitants ? (1 pt)
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   1. $\log 12=\log (4\times 3)=\log 2^2+\log 3=2a+b$. $\log 1,5=\log (\frac{3}{2})=\log 3-\log 2=b-a$. $\log 0,2=\log (\frac{2}{10})=\log 2-\log 10=a-1$.
   2. Ensemble de définition : il faut $x+3>0$ et $x>0$, soit $x>0$. Pour $x>0$, l'équation s'écrit $\log (x(x+3))=\log 10$, et comme la fonction $\log$ est strictement croissante, elle équivaut à $x(x+3)=10$, soit $x^2+3x-10=0$. $\Delta =9+40=49=7^2$, d'où $x=\frac{-3-7}{2}=-5$ ou $x=\frac{-3+7}{2}=2$. Seule la valeur $2$ appartient à l'ensemble de définition. Donc $S=2$.
   3. Ensemble de définition : il faut $3x-1>0$ et $x+5>0$, soit $x>\frac{1}{3}$ (alors $x+5>0$ est automatique). Pour $x>\frac{1}{3}$, comme $\log$ est strictement croissante, l'inéquation équivaut à $3x-1\le x+5$, soit $2x\le 6$, c'est-à-dire $x\le 3$. Avec l'ensemble de définition : $S=]\frac{1}{3},3]$.
   4. $\log (6^{50})=50\log 6=50(\log 2+\log 3)=50(a+b)\approx 50\times 0,778=38,9$. Donc $38\le \log (6^{50})<39$, c'est-à-dire $10^{38}\le 6^{50}<10^{39}$ : l'entier $6^{50}$ a $39$ chiffres.
   5. (a) Chaque année, la population est multipliée par $1+\frac{2}{100}=1,02$. La suite $(P_n)$ est géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $P_0=200000$, donc $P_n=200000\times 1,02^n$. (b) On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P_n>300000$, c'est-à-dire $1,02^n>\frac{3}{2}=1,5$. Les deux membres sont strictement positifs et $\log$ est strictement croissante, donc cette inéquation équivaut à $n\log 1,02>\log 1,5$. Comme $\log 1,02>0$ : $n>\frac{\log 1,5}{\log 1,02}=\frac{b-a}{\log 1,02}\approx \frac{0,176}{0,0086}\approx 20,5$. Le plus petit entier qui convient est $n=21$ : la population dépassera $300000$ habitants à partir de l'année $2025+21=2046$.

3. Exercice 3Limites7 pts

   Chapitre : Les limites d'une fonction numérique

   1. Calculer les limites suivantes. (a) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x^2-3x+1}{x^2+4}$. (1 pt) (b) ${\lim }_{x\to -\infty }(-3x^3+x^2-5)$. (0,5 pt) (c) ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}$. (1 pt) (d) ${\lim }_{x\to +\infty }(\sqrt{x^2+4x}-x)$. (1,5 pt)
   2. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{x^2-3x+5}{x-2}$ et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé. (a) Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$. (0,5 pt) (b) Calculer ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)$ et ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)$, puis interpréter graphiquement les résultats. (1 pt) (c) Vérifier que pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=x-1+\frac{3}{x-2}$. (0,5 pt) (d) En déduire ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$, puis montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x-1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$. (1 pt)
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   1. (a) C'est une forme indéterminée $\frac{\infty }{\infty }$. On factorise par le terme dominant au numérateur et au dénominateur : $\frac{2x^2-3x+1}{x^2+4}=\frac{x^2(2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2})}{x^2(1+\frac{4}{x^2})}=\frac{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x^2}}$. Comme ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x^2}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{4}{x^2}=0$, on obtient ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x^2-3x+1}{x^2+4}=\frac{2}{1}=2$. (b) $-3x^3+x^2-5=x^3(-3+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^3})$. Or ${\lim }_{x\to -\infty }{x}^3=-\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }(-3+\frac{1}{x}-\frac{5}{x^3})=-3$, donc par produit ${\lim }_{x\to -\infty }(-3x^3+x^2-5)=+\infty$. (c) En $x=2$, le numérateur et le dénominateur s'annulent : forme indéterminée $\frac{0}{0}$. Le trinôme $x^2-5x+6$ a pour racines $2$ et $3$ ($\Delta =25-24=1$), donc $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ et, pour $x\ne 2$ : $\frac{x^2-5x+6}{x-2}=x-3$. Donc ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x-3)=-1$. (d) ${\lim }_{x\to +\infty }\sqrt{x^2+4x}=+\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }x=+\infty$ : forme indéterminée $\infty -\infty$. On multiplie par la quantité conjuguée : $\sqrt{x^2+4x}-x=\frac{(\sqrt{x^2+4x}-x)(\sqrt{x^2+4x}+x)}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{x^2+4x-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}$. Pour $x>0$, $\sqrt{x^2+4x}=\sqrt{x^2(1+\frac{4}{x})}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}}$, donc $\sqrt{x^2+4x}-x=\frac{4x}{x(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1)}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}$. Comme ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{4}{x}=0$, ${\lim }_{x\to +\infty }\sqrt{1+\frac{4}{x}}=1$ et ${\lim }_{x\to +\infty }(\sqrt{x^2+4x}-x)=\frac{4}{1+1}=2$.
   2. (a) $f(x)$ existe si et seulement si $x-2\ne 0$. Donc $D_f=\mathbb{R}\setminus 2$. (b) ${\lim }_{x\to 2}(x^2-3x+5)=4-6+5=3>0$. Quand $x\to 2^{-}$, $x-2\to 0^{-}$, donc ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty$. Quand $x\to 2^{+}$, $x-2\to 0^{+}$, donc ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty$. Interprétation : la droite d'équation $x=2$ est asymptote verticale à la courbe $(C_f)$. (c) Pour tout $x\ne 2$ : $x-1+\frac{3}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)+3}{x-2}=\frac{x^2-3x+2+3}{x-2}=\frac{x^2-3x+5}{x-2}=f(x)$. (d) ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3}{x-2}=0$ et ${\lim }_{x\to +\infty }(x-1)=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ ; de même ${\lim }_{x\to -\infty }(x-1)=-\infty$ donc ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$. Asymptote oblique : pour tout $x\ne 2$, $f(x)-(x-1)=\frac{3}{x-2}$, et ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3}{x-2}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{3}{x-2}=0$. Donc ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(x-1)]=0$ : la droite $(D):y=x-1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$.