Logique, équations et inéquations, généralités sur les fonctions

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Notions de logique6 pts

   Chapitre : Notions de logique

   1. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant, puis écrire sa négation. (a) $\forall x\in \mathbb{R},x^2+4x+5>0$. (1 pt) (b) $\exists n\in \mathbb{N},2n+1=10$. (1 pt) (c) $\exists x\in \mathbb{R},\forall y\in \mathbb{R},x+y=0$. (1 pt)
   2. Soient $P$ et $Q$ deux propositions. Démontrer à l'aide d'une table de vérité que $(P\Rightarrow Q)\iff ((\neg P)\vee Q)$. (1,5 pt)
   3. Soit $n\in \mathbb{N}$. Démontrer par contraposée : « si $3n+2$ est impair, alors $n$ est impair ». (1,5 pt)
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   1. (a) Vraie. Pour tout réel $x$, $x^2+4x+5=(x+2{)}^2+1$ et $(x+2{)}^2\ge 0$, donc $x^2+4x+5\ge 1>0$. Négation : $\exists x\in \mathbb{R},x^2+4x+5\le 0$. (b) Fausse. Pour tout entier naturel $n$, le nombre $2n+1$ est impair alors que $10$ est pair : aucun entier $n$ ne convient (on peut aussi remarquer que $2n+1=10$ donne $n=\frac{9}{2}\notin \mathbb{N}$). Négation : $\forall n\in \mathbb{N},2n+1\ne 10$. (c) Fausse. Soit $x$ un réel quelconque. Le réel $y=1-x$ vérifie $x+y=1\ne 0$ : aucun réel $x$ ne vérifie $x+y=0$ pour tous les réels $y$. Négation : $\forall x\in \mathbb{R},\exists y\in \mathbb{R},x+y\ne 0$.
   2. On examine les quatre cas possibles pour les valeurs de vérité de $P$ et $Q$, en calculant $\neg P$, puis $(\neg P)\vee Q$, et $P\Rightarrow Q$ :

   • $P$ vraie, $Q$ vraie : $\neg P$ est fausse, $(\neg P)\vee Q$ est vraie ; $P\Rightarrow Q$ est vraie.
   • $P$ vraie, $Q$ fausse : $\neg P$ est fausse, $(\neg P)\vee Q$ est fausse ; $P\Rightarrow Q$ est fausse (c'est le seul cas où une implication est fausse).
   • $P$ fausse, $Q$ vraie : $\neg P$ est vraie, $(\neg P)\vee Q$ est vraie ; $P\Rightarrow Q$ est vraie.
   • $P$ fausse, $Q$ fausse : $\neg P$ est vraie, $(\neg P)\vee Q$ est vraie ; $P\Rightarrow Q$ est vraie. Dans les quatre cas, $P\Rightarrow Q$ et $(\neg P)\vee Q$ ont la même valeur de vérité : les deux propositions sont équivalentes, ce qui démontre $(P\Rightarrow Q)\iff ((\neg P)\vee Q)$.

   1. La contraposée de « si $3n+2$ est impair, alors $n$ est impair » est : « si $n$ est pair, alors $3n+2$ est pair ». Démontrons-la. Supposons $n$ pair : il existe $k\in \mathbb{N}$ tel que $n=2k$. Alors $3n+2=6k+2=2(3k+1)$, avec $3k+1\in \mathbb{N}$ : $3n+2$ est pair. La contraposée est vraie, donc l'implication de départ est vraie : si $3n+2$ est impair, alors $n$ est impair.

2. Exercice 2Équations, inéquations et programmation linéaire7 pts

   Chapitre : Équations, inéquations, programmation linéaire

   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2-7x+10=0$. (1 pt)
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{x^2-7x+10}{x-3}\le 0$. (1,5 pt)
   3. Un commerçant a vendu $40$ articles de deux types : des articles de type A à $20$ DH l'unité et des articles de type B à $30$ DH l'unité, pour une recette totale de $940$ DH. On note $x$ le nombre d'articles de type A et $y$ le nombre d'articles de type B vendus. Écrire un système de deux équations vérifié par $x$ et $y$, puis le résoudre. (1,5 pt)
   4. Un atelier de menuiserie fabrique chaque semaine $x$ tables et $y$ armoires. Une table demande $2$ heures de machine et $1$ heure de main d'œuvre ; une armoire demande $1$ heure de machine et $2$ heures de main d'œuvre. L'atelier dispose au plus de $80$ heures de machine et de $70$ heures de main d'œuvre par semaine. Le bénéfice est de $300$ DH par table et de $400$ DH par armoire. (a) Écrire les contraintes vérifiées par $x$ et $y$ et exprimer le bénéfice hebdomadaire $Z$ en fonction de $x$ et $y$. (1 pt) (b) Représenter graphiquement, dans un repère orthonormé, l'ensemble des solutions admissibles. (1 pt) (c) Déterminer les sommets du polygone des solutions admissibles, puis le programme de fabrication qui rend le bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice ? (1 pt)
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   1. $\Delta =(-7{)}^2-4\times 1\times 10=49-40=9=3^2>0$. L'équation a deux solutions : $x_1=\frac{7-3}{2}=2$ et $x_2=\frac{7+3}{2}=5$. Donc $S=2,5$.
   2. Le quotient est défini pour $x\ne 3$. D'après la question 1, le trinôme $x^2-7x+10$ a pour racines $2$ et $5$ ; comme $a=1>0$, il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. Le dénominateur $x-3$ est négatif pour $x<3$ et positif pour $x>3$. Tableau de signes du quotient :

   • sur $]-\infty ,2[$ : numérateur $+$, dénominateur $-$, quotient $-$ ;
   • en $x=2$ : le quotient s'annule ;
   • sur $]2,3[$ : numérateur $-$, dénominateur $-$, quotient $+$ ;
   • en $x=3$ : le quotient n'est pas défini (double barre) ;
   • sur $]3,5[$ : numérateur $-$, dénominateur $+$, quotient $-$ ;
   • en $x=5$ : le quotient s'annule ;
   • sur $]5,+\infty [$ : numérateur $+$, dénominateur $+$, quotient $+$. Le quotient est négatif ou nul sur $]-\infty ,2]$ et sur $]3,5]$. Donc $S=]-\infty ,2]\cup ]3,5]$.

   1. Le nombre d'articles donne $x+y=40$ et la recette donne $20x+30y=940$. On résout par substitution : $y=40-x$, puis $20x+30(40-x)=940$, soit $1200-10x=940$, d'où $x=26$ et $y=40-26=14$. Vérification : $20\times 26+30\times 14=520+420=940$. Donc le commerçant a vendu $26$ articles de type A et $14$ articles de type B.
   2. (a) Heures de machine : $2x+y\le 80$. Heures de main d'œuvre : $x+2y\le 70$. Les quantités sont positives : $x\ge 0$ et $y\ge 0$. Le bénéfice hebdomadaire est $Z=300x+400y$. (b) On trace les droites $(D_1):2x+y=80$ (elle passe par $(40;0)$ et $(0;80)$) et $(D_2):x+2y=70$ (elle passe par $(70;0)$ et $(0;35)$). Pour chaque inéquation, on teste l'origine : $0\le 80$ et $0\le 70$ sont vraies, donc le demi-plan solution est celui qui contient $O$ ; on hachure l'autre demi-plan. Avec $x\ge 0$ et $y\ge 0$, l'ensemble des solutions admissibles est le quadrilatère $OABC$ non hachuré du premier quadrant. (c) Les sommets sont $O(0;0)$, $A(40;0)$ (intersection de $(D_1)$ avec l'axe des abscisses), $C(0;35)$ (intersection de $(D_2)$ avec l'axe des ordonnées) et $B$, intersection de $(D_1)$ et $(D_2)$ : de $2x+y=80$ on tire $y=80-2x$, puis $x+2(80-2x)=70$ donne $-3x=-90$, soit $x=30$ et $y=20$ : $B(30;20)$. Le maximum de $Z$ est atteint en un sommet : $Z(O)=0$, $Z(A)=300\times 40=12000$, $Z(B)=300\times 30+400\times 20=9000+8000=17000$, $Z(C)=400\times 35=14000$. Donc le bénéfice est maximal pour $30$ tables et $20$ armoires par semaine ; il vaut alors $17000$ DH.

3. Exercice 3Généralités sur les fonctions7 pts

   Chapitre : Généralités sur les fonctions numériques

   Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$. (0,5 pt)
   2. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=1+\frac{3}{x-1}$. (0,5 pt)
   3. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $]1,+\infty [$. (1,5 pt)
   4. En déduire que pour tout $x\in [2,4]$ : $2\le f(x)\le 4$. (1 pt)
   5. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\frac{2x}{x^2+1}$. Étudier la parité de $g$. Que peut-on en déduire pour sa courbe ? (1 pt)
   6. Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=\sqrt{x-1}$. Déterminer l'ensemble de définition de $f\circ h$, puis calculer $(f\circ h)(5)$. (1 pt)
   7. Soit $(C)$ la courbe de la fonction $u:x\mapsto \frac{3}{x}$. Par quelle transformation géométrique obtient-on $(C_f)$ à partir de $(C)$ ? Justifier. (1,5 pt)
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   1. $f(x)$ existe si et seulement si $x-1\ne 0$, soit $x\ne 1$. Donc $D_f=\mathbb{R}\setminus 1=]-\infty ,1[\cup ]1,+\infty [$.
   2. Pour tout $x\ne 1$ : $1+\frac{3}{x-1}=\frac{x-1+3}{x-1}=\frac{x+2}{x-1}=f(x)$.
   3. Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels de $]1,+\infty [$ tels que $x_1<x_2$. D'après la question 2 : $f(x_2)-f(x_1)=\frac{3}{x_2-1}-\frac{3}{x_1-1}=\frac{3(x_1-1)-3(x_2-1)}{(x_1-1)(x_2-1)}=\frac{3(x_1-x_2)}{(x_1-1)(x_2-1)}$. Or $x_1-x_2<0$, $x_1-1>0$ et $x_2-1>0$, donc $f(x_2)-f(x_1)<0$, c'est-à-dire $f(x_2)<f(x_1)$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]1,+\infty [$.
   4. Soit $x\in [2,4]$. Comme $[2,4]\subset ]1,+\infty [$ et que $f$ est décroissante sur cet intervalle, $2\le x\le 4$ entraîne $f(4)\le f(x)\le f(2)$. Or $f(2)=\frac{4}{1}=4$ et $f(4)=\frac{6}{3}=2$. Donc pour tout $x\in [2,4]$ : $2\le f(x)\le 4$.
   5. $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ (le dénominateur $x^2+1$ ne s'annule jamais), ensemble symétrique par rapport à $0$. Pour tout réel $x$ : $g(-x)=\frac{2(-x)}{(-x{)}^2+1}=\frac{-2x}{x^2+1}=-g(x)$. Donc $g$ est impaire, et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère.
   6. $(f\circ h)(x)=f(h(x))$ existe si et seulement si $x\in D_h$ et $h(x)\in D_f$, c'est-à-dire $x-1\ge 0$ et $\sqrt{x-1}\ne 1$. Or $\sqrt{x-1}=1\iff x-1=1\iff x=2$. Donc $D_{f\circ h}=[1,2[\cup ]2,+\infty [$. Pour $x=5$ : $h(5)=\sqrt{4}=2$ et $(f\circ h)(5)=f(2)=4$.
   7. D'après la question 2, pour tout $x\ne 1$ : $f(x)=\frac{3}{x-1}+1=u(x-1)+1$. La courbe de $x\mapsto u(x-1)$ se déduit de $(C)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{i}$, puis l'ajout de $1$ correspond à la translation de vecteur $\overrightarrow{j}$. Donc $(C_f)$ est l'image de $(C)$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ (de coordonnées $(1;1)$).