Logique, généralités sur les fonctions et barycentre

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Notions de logique6 pts

   Chapitre : Notions de logique

   1. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant, puis écrire sa négation. (a) $\forall x\in \mathbb{R},x^2+2x+3>0$. (1 pt) (b) $\exists n\in \mathbb{N},n^2+n\text{est impair}$. (1 pt) (c) $\forall x\in \mathbb{R},\exists y\in \mathbb{R},y^2=x$. (1 pt)
   2. Soient $P$ et $Q$ deux propositions. Démontrer à l'aide d'une table de vérité que $(P\Rightarrow Q)\iff ((\neg Q)\Rightarrow (\neg P))$. (1 pt)
   3. Soit $n\in \mathbb{N}$. (a) Démontrer par contraposée : si $n^2$ est un multiple de $3$, alors $n$ est un multiple de $3$. (1 pt) (b) En déduire, par un raisonnement par l'absurde, que $\sqrt{3}$ est un nombre irrationnel. (1 pt)
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   1. (a) Pour tout réel $x$ : $x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2\ge 2>0$. La proposition est vraie. Négation : $\exists x\in \mathbb{R},x^2+2x+3\le 0$. (b) Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $n^2+n=n(n+1)$. Raisonnons par disjonction de cas : si $n$ est pair, $n=2k$ et $n(n+1)=2k(n+1)$ est pair ; si $n$ est impair, $n+1=2k$ est pair et $n(n+1)=2kn$ est pair. Dans tous les cas $n^2+n$ est pair : aucun entier naturel ne convient, la proposition est fausse. Négation : $\forall n\in \mathbb{N},n^2+n\text{est pair}$ (et c'est cette négation qui est vraie). (c) Pour $x=-1$, l'équation $y^2=-1$ n'a aucune solution réelle car $y^2\ge 0$ pour tout réel $y$. La proposition est fausse. Négation : $\exists x\in \mathbb{R},\forall y\in \mathbb{R},y^2\ne x$.
   2. Table de vérité :

   $P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$	$\neg Q$	$\neg P$	$(\neg Q)\Rightarrow (\neg P)$
   V	V	V	F	F	V
   V	F	F	V	F	F
   F	V	V	F	V	V
   F	F	V	V	V	V

   Les colonnes de $P\Rightarrow Q$ et de $(\neg Q)\Rightarrow (\neg P)$ sont identiques : les deux propositions ont toujours la même valeur de vérité, donc $(P\Rightarrow Q)\iff ((\neg Q)\Rightarrow (\neg P))$. C'est ce qui justifie le raisonnement par contraposée.

   1. (a) La contraposée de l'implication est : « si $n$ n'est pas un multiple de $3$, alors $n^2$ n'est pas un multiple de $3$ ». Supposons que $n$ n'est pas un multiple de $3$ : il existe $k\in \mathbb{N}$ tel que $n=3k+1$ ou $n=3k+2$.

   • Si $n=3k+1$ : $n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$.
   • Si $n=3k+2$ : $n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$. Dans les deux cas $n^2$ s'écrit $3q+1$ avec $q\in \mathbb{N}$ : $n^2$ n'est pas un multiple de $3$. La contraposée est vraie, donc l'implication « si $n^2$ est un multiple de $3$, alors $n$ est un multiple de $3$ » est vraie. (b) Supposons par l'absurde que $\sqrt{3}$ est rationnel. Comme $\sqrt{3}>0$, il existe $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ premiers entre eux tels que $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$. En élevant au carré : $p^2=3q^2$, donc $p^2$ est un multiple de $3$, donc $p$ est un multiple de $3$ d'après la question (a). Écrivons $p=3m$ avec $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $9m^2=3q^2$, soit $q^2=3m^2$. Ainsi $q^2$ est un multiple de $3$, donc $q$ aussi (question (a)). Les entiers $p$ et $q$ sont tous deux multiples de $3$, ce qui contredit le fait qu'ils sont premiers entre eux. L'hypothèse est donc fausse : $\sqrt{3}$ est irrationnel.

2. Exercice 2Généralités sur les fonctions7 pts

   Chapitre : Généralités sur les fonctions numériques

   Soit $f$ la fonction numérique définie par $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

   1. Déterminer $D_f$ et étudier la parité de $f$. (1 pt)
   2. (a) Montrer que pour tout réel $x$ : $f(x)-1=-\frac{(x-1{)}^2}{x^2+1}$. (0,5 pt) (b) Montrer que pour tout réel $x$ : $-1\le f(x)\le 1$, et préciser les réels pour lesquels $f(x)=1$ et ceux pour lesquels $f(x)=-1$. (1 pt)
   3. (a) Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels positifs. Montrer que $f(x_2)-f(x_1)=\frac{2(x_2-x_1)(1-x_1{x}_2)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}$. (1 pt) (b) En déduire que $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$ et strictement décroissante sur $[1,+\infty [$. (1 pt)
   4. En utilisant la parité de $f$, dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-2,2]$. (1 pt)
   5. Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=f(\sqrt{x})$. (a) Déterminer $D_h$ et vérifier que $h(x)=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}$. (0,5 pt) (b) Déterminer le sens de variation de $h$ sur $[0,1]$ et sur $[1,+\infty [$, puis en déduire que pour tout réel $x\ge 0$ : $2\sqrt{x}\le x+1$. (1 pt)
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   1. Pour tout réel $x$, $x^2+1\ge 1>0$, donc le dénominateur ne s'annule jamais : $D_f=\mathbb{R}$. L'ensemble $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ et, pour tout réel $x$ : $f(-x)=\frac{2(-x)}{(-x{)}^2+1}=-\frac{2x}{x^2+1}=-f(x)$. Donc $f$ est impaire (sa courbe est symétrique par rapport à l'origine).
   2. (a) $f(x)-1=\frac{2x-(x^2+1)}{x^2+1}=-\frac{x^2-2x+1}{x^2+1}=-\frac{(x-1{)}^2}{x^2+1}$. (b) Comme $(x-1{)}^2\ge 0$ et $x^2+1>0$, on a $f(x)-1\le 0$, c'est-à-dire $f(x)\le 1$, avec égalité si et seulement si $(x-1{)}^2=0$, soit $x=1$. De même $f(x)+1=\frac{2x+x^2+1}{x^2+1}=\frac{(x+1{)}^2}{x^2+1}\ge 0$, donc $f(x)\ge -1$, avec égalité si et seulement si $x=-1$. Conclusion : pour tout réel $x$, $-1\le f(x)\le 1$ ; $f(x)=1$ uniquement pour $x=1$ et $f(x)=-1$ uniquement pour $x=-1$.
   3. (a) En réduisant au même dénominateur : $f(x_2)-f(x_1)=\frac{2x_2(x_1^2+1)-2x_1(x_2^2+1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}$. Le numérateur vaut $2(x_1^2{x}_2+x_2-x_1{x}_2^2-x_1)=2[(x_2-x_1)-x_1{x}_2(x_2-x_1)]=2(x_2-x_1)(1-x_1{x}_2)$, d'où la formule demandée. (b) Le dénominateur $(x_1^2+1)(x_2^2+1)$ est strictement positif.

   • Soient $x_1,x_2\in [0,1]$ avec $x_1<x_2$. Alors $x_2-x_1>0$ et, comme $0\le x_1<1$ et $0<x_2\le 1$, on a $x_1{x}_2<1$, donc $1-x_1{x}_2>0$. Ainsi $f(x_2)-f(x_1)>0$ : *$f$ est strictement croissante sur $[0,1]$*.
   • Soient $x_1,x_2\in [1,+\infty [$ avec $x_1<x_2$. Alors $x_2-x_1>0$ et $x_1{x}_2>1$ (produit de deux réels dont l'un est $\ge 1$ et l'autre $>1$), donc $1-x_1{x}_2<0$ et $f(x_2)-f(x_1)<0$ : *$f$ est strictement décroissante sur $[1,+\infty [$*.

   1. $f$ est impaire. Soient $x_1<x_2$ dans $[-1,0]$ ; alors $0\le -x_2<-x_1\le 1$, donc $f(-x_2)<f(-x_1)$ (croissance sur $[0,1]$), soit $-f(x_2)<-f(x_1)$, c'est-à-dire $f(x_1)<f(x_2)$ : $f$ est strictement croissante sur $[-1,0]$. De la même façon, la décroissance de $f$ sur $[1,2]$ donne la décroissance de $f$ sur $[-2,-1]$. Avec $f(-2)=-\frac{4}{5}$, $f(-1)=-1$, $f(0)=0$, $f(1)=1$ et $f(2)=\frac{4}{5}$ :

   $x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
   $f(x)$	$-\frac{4}{5}$ ↘	$-1$ ↗	$0$ ↗	$1$ ↘	$\frac{4}{5}$

   $f$ décroît de $-\frac{4}{5}$ à $-1$ sur $[-2,-1]$, croît de $-1$ à $1$ sur $[-1,1]$ et décroît de $1$ à $\frac{4}{5}$ sur $[1,2]$.

   1. (a) $h(x)$ existe si et seulement si $\sqrt{x}$ existe et $\sqrt{x}\in D_f=\mathbb{R}$, c'est-à-dire $x\ge 0$ : $D_h=[0,+\infty [$. Pour $x\ge 0$ : $h(x)=\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}{)}^2+1}=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}$. (b) Notons $u:x\to \sqrt{x}$ ; $h$ est la composée de $u$ suivie de $f$. La fonction $u$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$.

   • Sur $[0,1]$ : $u([0,1])=[0,1]$ et $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$. Composée de deux fonctions croissantes, *$h$ est strictement croissante sur $[0,1]$*.
   • Sur $[1,+\infty [$ : $u([1,+\infty [)=[1,+\infty [$ et $f$ est strictement décroissante sur $[1,+\infty [$. Composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante, *$h$ est strictement décroissante sur $[1,+\infty [$*. Donc $h$ admet en $x=1$ un maximum sur $[0,+\infty [$, qui vaut $h(1)=f(1)=1$. Pour tout $x\ge 0$ : $h(x)\le 1$, soit $\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\le 1$, et comme $x+1>0$ : $2\sqrt{x}\le x+1$.

3. Exercice 3Barycentre dans le plan7 pts

   Chapitre : Le barycentre dans le plan

   Soit $ABC$ un triangle. On considère les points $K$, $L$ et $G$ définis par :

   • $K$ est le barycentre des points pondérés $(B,2)$ et $(C,3)$ ;
   • $L$ est le barycentre des points pondérés $(A,1)$ et $(B,2)$ ;
   • $G$ est le barycentre des points pondérés $(A,1)$, $(B,2)$ et $(C,3)$.

   1. Montrer que $\overrightarrow{BK}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$ et que $\overrightarrow{AL}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, puis placer les points $K$ et $L$ sur une figure. (1 pt)
   2. (a) Montrer que $G$ est le barycentre des points pondérés $(A,1)$ et $(K,5)$, puis en déduire que $\overrightarrow{AG}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AK}$. (1 pt) (b) Montrer que $G$ est le milieu du segment $[LC]$. (1 pt) (c) En déduire une construction du point $G$ et le placer sur la figure. (0,5 pt)
   3. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AG}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. (1 pt)
   4. Le plan est rapporté au repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$. Déterminer les coordonnées des points $K$, $L$ et $G$ dans ce repère. (1 pt)
   5. Soit $I$ le milieu de $[BC]$. Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que : (a) le vecteur $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ ; (0,75 pt) (b) $\Vert \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\Vert =3\Vert \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\Vert$. (0,75 pt)
   Voir la correction

   1. $K$ est le barycentre de $(B,2)$ et $(C,3)$, avec $2+3=5\ne 0$. D'après la caractérisation vectorielle, pour tout point $M$ : $\overrightarrow{MK}=\frac{2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}}{5}$. Avec $M=B$ : $\overrightarrow{BK}=\frac{2\overrightarrow{BB}+3\overrightarrow{BC}}{5}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$. De même, $L$ est le barycentre de $(A,1)$ et $(B,2)$ ($1+2=3\ne 0$) et avec $M=A$ : $\overrightarrow{AL}=\frac{\overrightarrow{AA}+2\overrightarrow{AB}}{3}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. On place $K$ sur $[BC]$ aux trois cinquièmes à partir de $B$, et $L$ sur $[AB]$ aux deux tiers à partir de $A$.
   2. (a) $G$ est le barycentre de $(A,1)$, $(B,2)$, $(C,3)$ et $2+3=5\ne 0$. D'après le théorème d'associativité, on peut remplacer les points pondérés $(B,2)$ et $(C,3)$ par leur barycentre $K$ affecté du poids $2+3=5$ : $G$ est le barycentre de $(A,1)$ et $(K,5)$. Alors, pour $M=A$ : $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AA}+5\overrightarrow{AK}}{6}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AK}$. (b) De même, $1+2=3\ne 0$ et $L$ est le barycentre de $(A,1)$ et $(B,2)$ : par associativité, $G$ est le barycentre de $(L,3)$ et $(C,3)$. Par homogénéité (division des poids par $3$), $G$ est le barycentre de $(L,1)$ et $(C,1)$ : $G$ est le milieu de $[LC]$. (c) D'après (a), $G\in (AK)$ ; d'après (b), $G\in (LC)$. Ces deux droites sont sécantes (le point $A$ n'appartient pas à $(LC)$ puisque $L\in (AB)$, $L\ne A$ et $C\notin (AB)$). Donc $G$ est le point d'intersection des droites $(AK)$ et $(LC)$ ; on peut aussi le placer directement comme milieu de $[LC]$.
   3. Avec la caractérisation vectorielle du barycentre de trois points (somme des poids $1+2+3=6$) et $M=A$ : $\overrightarrow{AG}=\frac{1\overrightarrow{AA}+2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{6}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
   4. Dans le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ : $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$. Par la formule des coordonnées d'un barycentre :

   • $K$ : $x_K=\frac{2\times 1+3\times 0}{5}=\frac{2}{5}$ et $y_K=\frac{2\times 0+3\times 1}{5}=\frac{3}{5}$, donc $K(\frac{2}{5};\frac{3}{5})$ ;
   • $L$ : $x_L=\frac{1\times 0+2\times 1}{3}=\frac{2}{3}$ et $y_L=0$, donc $L(\frac{2}{3};0)$ ;
   • $G$ : d'après la question 3, $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, donc $G(\frac{1}{3};\frac{1}{2})$. Vérification : le milieu de $[LC]$ a pour coordonnées $(\frac{\frac{2}{3}+0}{2};\frac{0+1}{2})=(\frac{1}{3};\frac{1}{2})$, ce qui confirme la question 2(b).

   1. Comme $G$ est le barycentre de $(A,1)$, $(B,2)$, $(C,3)$, on a pour tout point $M$ du plan : $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MG}$. De même, $I$ étant le milieu de $[BC]$ (barycentre de $(B,1)$ et $(C,1)$) : $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$. (a) $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ si et seulement si $6\overrightarrow{MG}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$, c'est-à-dire si et seulement si $\overrightarrow{MG}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires. L'ensemble cherché est *la droite passant par $G$ et parallèle à $(AB)$* (le point $G$ lui-même convient car $\overrightarrow{GG}=\overrightarrow{0}$). (b) L'égalité s'écrit $\Vert 6\overrightarrow{MG}\Vert =3\Vert 2\overrightarrow{MI}\Vert$, soit $6MG=6MI$, soit $MG=MI$. Les points $G(\frac{1}{3};\frac{1}{2})$ et $I(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ sont distincts, donc l'ensemble cherché est *la médiatrice du segment $[GI]$*.