Examen national · 2ème Bac Sciences de la Vie et de la Terre · Session normale 2025

Suite arithmético-géométrique, complexes, probabilités et fonction logarithme

Sujet complet type examen national 2ème Bac SVT : suite u(n+1)=(2u(n)+1)/3 et suite auxiliaire, équation dans ℂ et triangle rectangle isocèle, loi d'une variable aléatoire, problème sur f(x)=(1+ln x)/x avec tangente, discussion graphique et aire.

Durée : 3 heures. Sujet d'entraînement original rédigé dans le format de l'épreuve officielle ; ce n'est pas la reproduction d'une épreuve réelle. Réviser les chapitres : 2ème Bac Sciences de la Vie et de la Terre.

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Exercice 1Suites numériques3 pts
Chapitre : Suites numériques
Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 4$ et, pour tout $n \in N$ : $u_{n + 1} = \frac{2 u _{n} + 1}{3}$ .
1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ : $u_{n} > 1$ .
3. Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1 - u _{n}}{3}$ et en déduire le sens de variation de $(u_{n})$ .
4. On pose $v_{n} = u_{n} - 1$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
5. Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ , et calculer $lim u_{n}$ .
6. Calculer $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ en fonction de $n$ .
Voir la correction
1. $u_{1} = \frac{8 + 1}{3} = 3$ et $u_{2} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3}$ .
2. Initialisation : $u_{0} = 4 > 1$ . Hérédité : si $u_{n} > 1$ , alors $2 u_{n} + 1 > 3$ et $u_{n + 1} = \frac{2 u _{n} + 1}{3} > 1$ . Conclusion : $u_{n} > 1$ pour tout $n$ .
3. $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 u _{n} + 1 - 3 u _{n}}{3} = \frac{1 - u _{n}}{3} < 0$ car $u_{n} > 1$ : la suite est strictement décroissante.
4. $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 1 = \frac{2 u _{n} + 1 - 3}{3} = \frac{2 ( u _{n} - 1 )}{3} = \frac{2}{3} v_{n}$ : $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{2}{3}$ et de premier terme $v_{0} = 3$ .
5. $v_{n} = 3 (\frac{2}{3})^{n}$ et $u_{n} = 1 + 3 (\frac{2}{3})^{n}$ . Comme $0 < \frac{2}{3} < 1$ , $(\frac{2}{3})^{n} \to 0$ et $lim u_{n} = 1$ .
6. $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (1 + v_{k}) = (n + 1) + 3 \frac{1 - ( \frac{2}{3} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{2}{3}} = (n + 1) + 9 (1 - (\frac{2}{3})^{n + 1})$ .
Exercice 2Nombres complexes3 pts
Chapitre : Nombres complexes (introduction)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, u, v)$ .
1. Résoudre dans $C$ l'équation $z^{2} - 2 z + 2 = 0$ .
2. On pose $a = 1 + i$ . Calculer $∣ a ∣$ et donner un argument de $a$ .
3. Calculer $a^{2}$ et $a^{4}$ .
4. On considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$ , $a$ et $a^{2}$ . Montrer que le triangle $O A B$ est rectangle et isocèle en $O$ , et placer les points $A$ , $B$ , $C$ .
Voir la correction
1. $Δ = 4 - 8 = - 4 = (2 i)^{2}$ : $z = \frac{2 \pm 2 i}{2}$ , soit $S = {1 + i, 1 - i}$ .
2. $∣ a ∣ = 1 + 1 = 2$ et $a = 2 (\frac{2}{2} + i \frac{2}{2}) = 2 (cos (\frac{π}{4}) + i sin (\frac{π}{4}))$ : un argument de $a$ est $\frac{π}{4}$ .
3. $a^{2} = (1 + i)^{2} = 1 + 2 i - 1 = 2 i$ et $a^{4} = (2 i)^{2} = - 4$ .
4. $O A = ∣ a ∣ = 2 = ∣ a ∣ = O B$ : le triangle est isocèle en $O$ . De plus $a r g (a) = - \frac{π}{4}$ , donc l'angle $(O B, O A) = \frac{π}{4} - (- \frac{π}{4}) = \frac{π}{2}$ : le triangle $O A B$ est rectangle en $O$ . $A (1, 1)$ , $B (1, - 1)$ et $C (0, 2)$ (affixe $2 i$ ).
Exercice 3Probabilités3 pts
Chapitre : Dénombrement et probabilités
Un sac contient cinq jetons indiscernables au toucher, numérotés de $1$ à $5$ . On tire simultanément deux jetons du sac.
1. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « les deux numéros sont pairs ».
2. Calculer la probabilité de l'événement $B$ : « la somme des deux numéros est paire ».
3. Soit $X$ la variable aléatoire égale au plus grand des deux numéros tirés. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer $E (X)$ .
Voir la correction
1. Il y a $(2 5) = 10$ tirages équiprobables. Les numéros pairs sont $2$ et $4$ : un seul tirage favorable, $P (A) = \frac{1}{10}$ .
2. La somme est paire si les deux numéros ont la même parité : deux pairs ( $1$ tirage) ou deux impairs parmi ${1, 3, 5}$ ( $(2 3) = 3$ tirages). $P (B) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .
3. $X$ prend les valeurs $2, 3, 4, 5$ . Le plus grand numéro vaut $k$ lorsque l'autre est l'un des $k - 1$ numéros inférieurs : $P (X = 2) = \frac{1}{10}$ , $P (X = 3) = \frac{2}{10}$ , $P (X = 4) = \frac{3}{10}$ , $P (X = 5) = \frac{4}{10}$ . $E (X) = \frac{2 \times 1 + 3 \times 2 + 4 \times 3 + 5 \times 4}{10} = \frac{40}{10} = 4$ .
Exercice 4Problème d'analyse11 pts
Chapitres : Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral
Soit $f$ la fonction définie sur $] 0, + \infty [$ par $f (x) = \frac{1 + l n x}{x}$ , et $(C)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O, i, j)$ (unité : 2 cm).
Partie A.
1. Calculer $lim_{x \to 0^{+}} f (x)$ et interpréter graphiquement le résultat.
2. Calculer $lim_{x \to + \infty} f (x)$ et interpréter graphiquement le résultat.
3. Montrer que pour tout $x > 0$ : $f^{'} (x) = - \frac{l n x}{x ^{2}}$ .
4. Dresser le tableau de variations de $f$ .
5. Résoudre l'équation $f (x) = 0$ et en déduire le signe de $f (x)$ sur $] 0, + \infty [$ .
Partie B.
1. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d'abscisse $e$ .
2. Tracer $(T)$ et $(C)$ .
3. Discuter graphiquement, suivant les valeurs du réel $k$ , le nombre de solutions de l'équation $f (x) = k$ .
Partie C.
1. Montrer que la fonction $F : x \to ln x + \frac{1}{2} (ln x)^{2}$ est une primitive de $f$ sur $] 0, + \infty [$ .
2. Calculer $\int_{1}^{e} f (x) d x$ .
3. En déduire, en cm $^{2}$ , l'aire du domaine délimité par $(C)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$ .
Voir la correction
Partie A.
1. $lim_{x \to 0^{+}} (1 + ln x) = - \infty$ et $\frac{1}{x} \to + \infty$ , donc $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = - \infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
2. $f (x) = \frac{1}{x} + \frac{l n x}{x}$ ; $\frac{1}{x} \to 0$ et $\frac{l n x}{x} \to 0$ (croissances comparées), donc $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+ \infty$ .
3. $f = \frac{u}{v}$ avec $u = 1 + ln x$ , $v = x$ : $f^{'} (x) = \frac{( \frac{1}{x} ) x - ( 1 + l n x )}{x ^{2}} = \frac{1 - 1 - l n x}{x ^{2}} = - \frac{l n x}{x ^{2}}$ .
4. $f^{'} (x)$ a le signe de $- ln x$ : $f$ est croissante sur $] 0, 1]$ et décroissante sur $[1, + \infty [$ , avec un maximum $f (1) = 1$ .
5. $f (x) = 0 \Leftrightarrow 1 + ln x = 0 \Leftrightarrow x = e^{- 1} = \frac{1}{e}$ . Comme $1 + ln x$ est croissante et $x > 0$ : $f (x) < 0$ sur $] 0, \frac{1}{e} [$ et $f (x) > 0$ sur $] \frac{1}{e}, + \infty [$ .
Partie B.
1. $f (e) = \frac{2}{e}$ et $f^{'} (e) = - \frac{1}{e ^{2}}$ : $(T) : y = - \frac{1}{e ^{2}} (x - e) + \frac{2}{e}$ , soit $y = - \frac{x}{e ^{2}} + \frac{3}{e}$ .
2. Tracé : la courbe part de $- \infty$ près de l'axe des ordonnées, coupe l'axe des abscisses en $\frac{1}{e} \approx 0, 37$ , culmine en $(1, 1)$ puis décroît vers l'axe des abscisses.
3. D'après le tableau de variations : si $k > 1$ , aucune solution ; si $k = 1$ , une solution ( $x = 1$ ) ; si $0 < k < 1$ , deux solutions (une dans $] \frac{1}{e}, 1 [$ , une dans $] 1, + \infty [$ ) ; si $k \leq 0$ , une seule solution (dans $] 0, \frac{1}{e}]$ ), car sur $[1, + \infty [$ la fonction reste strictement positive.
Partie C.
1. $F^{'} (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \times 2 ln x \times \frac{1}{x} = \frac{1 + l n x}{x} = f (x)$ .
2. $\int_{1}^{e} f (x) d x = F (e) - F (1) = (1 + \frac{1}{2}) - 0 = \frac{3}{2}$ .
3. Sur $[1, e]$ , $f (x) > 0$ : l'aire vaut $\frac{3}{2}$ unité d'aire, soit $\frac{3}{2} \times 4 = 6$ cm $^{2}$ .

Suite arithmético-géométrique, complexes, probabilités et fonction logarithme

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Sujet et corrigé — 20 points

Exercice 1Suites numériques3 pts

Exercice 2Nombres complexes3 pts

Exercice 3Probabilités3 pts

Exercice 4Problème d'analyse11 pts