Suites numériques, calcul des probabilités, étude d'une fonction logarithme et calcul intégral

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques4 pts

   Chapitre : Suites numériques (convergence + finance)

   On considère la suite numérique $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0=2\mathrm{et}{u}_{n+1}=\frac{1}{7}{u}_n+\frac{6}{7},n\in \mathbb{N}.$

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n\ge 1$. (0,5 pt) (b) Montrer que : $u_{n+1}-u_n=\frac{6}{7}(1-u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ et en déduire que $(u_n)$ est une suite décroissante. (0,75 pt)
   3. On pose : $v_n=u_n-1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (a) Calculer $v_0$. (0,25 pt) (b) Montrer que la suite $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique de raison $\frac{1}{7}$. (0,5 pt) (c) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt) (d) En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n=(\frac{1}{7}{)}^n+1$. (0,25 pt) (e) Calculer ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n$. (0,75 pt)
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   1. $u_1=\frac{1}{7}{u}_0+\frac{6}{7}=\frac{2}{7}+\frac{6}{7}=\frac{8}{7}$ et $u_2=\frac{1}{7}{u}_1+\frac{6}{7}=\frac{1}{7}\times \frac{8}{7}+\frac{6}{7}=\frac{8}{49}+\frac{42}{49}=\frac{50}{49}$. Donc $u_1=\frac{8}{7}$ et $u_2=\frac{50}{49}$.
   2. (a) Montrons par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n\ge 1$. Initialisation : $u_0=2\ge 1$. Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $u_n\ge 1$. En multipliant par $\frac{1}{7}>0$ : $\frac{1}{7}{u}_n\ge \frac{1}{7}$, puis en ajoutant $\frac{6}{7}$ : $u_{n+1}=\frac{1}{7}{u}_n+\frac{6}{7}\ge \frac{1}{7}+\frac{6}{7}=1$. Conclusion : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n\ge 1$. (b) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{7}{u}_n+\frac{6}{7}-u_n=-\frac{6}{7}{u}_n+\frac{6}{7}=\frac{6}{7}(1-u_n)$. D'après (a), $u_n\ge 1$ donc $1-u_n\le 0$ et, comme $\frac{6}{7}>0$, $u_{n+1}-u_n\le 0$. La suite $(u_n)$ est décroissante.
   3. (a) $v_0=u_0-1=2-1=1$. (b) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_{n+1}=u_{n+1}-1=\frac{1}{7}{u}_n+\frac{6}{7}-1=\frac{1}{7}{u}_n-\frac{1}{7}=\frac{1}{7}(u_n-1)=\frac{1}{7}{v}_n$. Donc $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{1}{7}$ et de premier terme $v_0=1$. (c) $v_n=v_0\times q^n=1\times (\frac{1}{7}{)}^n=(\frac{1}{7}{)}^n$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (d) $v_n=u_n-1$ donc $u_n=v_n+1=(\frac{1}{7}{)}^n+1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (e) Comme $-1<\frac{1}{7}<1$, ${\lim }_{n\to +\infty }(\frac{1}{7}{)}^n=0$, donc ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=0+1=1$.

2. Exercice 2Calcul des probabilités4 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Une boîte contient dix boules indiscernables au toucher : quatre boules blanches portant les numéros $1,1,1,2$ et six boules noires portant les numéros $1,1,1,1,1$ et $2$.

   On tire simultanément au hasard deux boules de la boîte.

   On considère les deux événements suivants : $A$ : « Les deux boules tirées sont noires » $B$ : « Les deux boules tirées portent le même numéro »

   1. Calculer $C_{10}^2$. (0,5 pt)
   2. Calculer $p(A)$. (0,5 pt)
   3. Montrer que $p(B)=\frac{29}{45}$. (0,75 pt)
   4. Montrer que $p(A\cap B)=\frac{10}{45}$. (0,75 pt)
   5. Soit $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules noires tirées. [Tableau : $x_i$ : $0$, $1$, $2$ ; $p(X=x_i)$ : $...$, $...$, $\frac{15}{45}$.] (a) Copier et compléter le tableau ci-contre en justifiant les réponses. (1 pt) (b) Vérifier que $E(X)=\frac{54}{45}$ ($E(X)$ est l'espérance mathématique de $X$). (0,5 pt)
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   1. $C_{10}^2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45$.
   2. On tire simultanément $2$ boules parmi $10$ : les $45$ combinaisons sont équiprobables (boules indiscernables au toucher), $\mathrm{card}(\Omega )=45$. $A$ : les deux boules sont choisies parmi les $6$ noires : $\mathrm{card}(A)=C_6^2=\frac{6\times 5}{2}=15$. Donc $p(A)=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$.
   3. Les boules portant le numéro $1$ sont au nombre de $3+5=8$ ($3$ blanches et $5$ noires) ; celles portant le numéro $2$ sont au nombre de $1+1=2$ ($1$ blanche et $1$ noire). $B$ est réalisé si les deux boules portent toutes deux le numéro $1$ ou toutes deux le numéro $2$ : $\mathrm{card}(B)=C_8^2+C_2^2=\frac{8\times 7}{2}+1=28+1=29$. Donc $p(B)=\frac{29}{45}$.
   4. $A\cap B$ : les deux boules sont noires et portent le même numéro. Parmi les noires, $5$ portent le numéro $1$ et une seule porte le numéro $2$ (on ne peut donc pas tirer deux noires numérotées $2$) : $\mathrm{card}(A\cap B)=C_5^2=\frac{5\times 4}{2}=10$. Donc $p(A\cap B)=\frac{10}{45}$.
   5. (a) $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$. $(X=0)$ : aucune boule noire, les deux boules sont blanches (parmi $4$) : $p(X=0)=\frac{C_4^2}{45}=\frac{6}{45}$. $(X=2)$ : les deux boules sont noires, c'est l'événement $A$ : $p(X=2)=\frac{15}{45}$. $(X=1)$ : une boule blanche (parmi $4$) et une boule noire (parmi $6$) : $p(X=1)=\frac{C_4^1\times C_6^1}{45}=\frac{4\times 6}{45}=\frac{24}{45}$. (Vérification : $\frac{6}{45}+\frac{24}{45}+\frac{15}{45}=\frac{45}{45}=1$.) Tableau complété : $x_i$ : $0$, $1$, $2$ ; $p(X=x_i)$ : $\frac{6}{45}$, $\frac{24}{45}$, $\frac{15}{45}$. (b) $E(X)=0\times \frac{6}{45}+1\times \frac{24}{45}+2\times \frac{15}{45}=\frac{24}{45}+\frac{30}{45}=\frac{54}{45}$ (soit $\frac{6}{5}=1,2$).

3. Exercice 3Étude d'une fonction numérique8 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions

   On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty [$ par : $f(x)=(\ln x-1{)}^2$ et soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. Justifier que ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$, puis donner une interprétation géométrique. (1 pt)
   2. (a) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$. (0,5 pt) (b) Montrer que ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x=0$ (on admet que ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{(\ln x{)}^2}{x}=0$). (0,5 pt) (c) Donner une interprétation géométrique du résultat. (0,5 pt)
   3. (a) Montrer que $f^{\prime }(x)=\frac{2(\ln x-1)}{x}$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$. (1 pt) (b) Étudier le signe de $(\ln x-1)$ sur $]0,+\infty [$. (1 pt) (c) Montrer que $f$ est décroissante sur $]0,e]$ et qu'elle est croissante sur $[e,+\infty [$. (1 pt)
   4. (a) Montrer que $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(2-\ln x)}{x^2}$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$. (1 pt) (b) En déduire que la courbe $(C_f)$ admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées. (1,5 pt)
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   1. ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$, donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}(\ln x-1)=-\infty$ et, en élevant au carré, ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(\ln x-1{)}^2=+\infty$. Interprétation : la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à $(C_f)$.
   2. (a) ${\lim }_{x\to +\infty }\ln x=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }(\ln x-1)=+\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. (b) Pour $x>0$ : $f(x)=(\ln x{)}^2-2\ln x+1$, donc $f(x)/x=\frac{(\ln x{)}^2}{x}-2\frac{\ln x}{x}+\frac{1}{x}$. On admet ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{(\ln x{)}^2}{x}=0$ ; on sait que ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x}=0$ et ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0$. Donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x=0-2\times 0+0=0$. (c) Comme ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x=0$, la courbe $(C_f)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
   3. (a) $f=u^2$ avec $u(x)=\ln x-1$, dérivable sur $]0,+\infty [$, $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$. Avec $(u^2{)}^{\prime }=2u^{\prime }u$ : pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)=2\times \frac{1}{x}\times (\ln x-1)=\frac{2(\ln x-1)}{x}$. (b) $\ln x-1=0<\Rightarrow \ln x=1<\Rightarrow x=e$ ; $\ln x-1>0<\Rightarrow \ln x>1=\ln e<\Rightarrow x>e$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante) ; et $\ln x-1<0<\Rightarrow 0<x<e$. Donc $\ln x-1$ est négatif sur $]0,e[$, nul en $e$ et positif sur $]e,+\infty [$. (c) Pour $x>0$, $\frac{2}{x}>0$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $\ln x-1$ : $f^{\prime }(x)\le 0$ sur $]0,e]$ et $f^{\prime }(x)\ge 0$ sur $[e,+\infty [$. Par conséquent $f$ est décroissante sur $]0,e]$ et croissante sur $[e,+\infty [$ (minimum $f(e)=(1-1{)}^2=0$).
   4. (a) $f^{\prime }(x)=\frac{2(\ln x-1)}{x}$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec $u(x)=2(\ln x-1)$, $u^{\prime }(x)=\frac{2}{x}$, $v(x)=x$, $v^{\prime }(x)=1$. Pour tout $x>0$ : $f^{\prime \prime }(x)=\frac{\frac{2}{x}\times x-2(\ln x-1)\times 1}{x^2}=\frac{2-2\ln x+2}{x^2}=\frac{4-2\ln x}{x^2}=\frac{2(2-\ln x)}{x^2}$. (b) Pour $x>0$, $\frac{2}{x^2}>0$ : $f^{\prime \prime }(x)$ a le signe de $2-\ln x$. $2-\ln x=0<\Rightarrow \ln x=2<\Rightarrow x=e^2$ ; $2-\ln x>0<\Rightarrow \ln x<2<\Rightarrow 0<x<e^2$ ; $2-\ln x<0<\Rightarrow x>e^2$. $f^{\prime \prime }$ s'annule en $x=e^2$ en changeant de signe (positive avant, négative après), donc $(C_f)$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $e^2$. Son ordonnée est $f(e^2)=(\ln e^2-1{)}^2=(2-1{)}^2=1$. Le point d'inflexion a pour coordonnées $(e^2,1)$.

4. Exercice 4Calcul intégral4 pts

   Chapitres : Calcul intégral · Fonctions exponentielles

   Dans la figure ci-dessous, $(C)$ est la courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=(1-x)e^x$.

   [Figure : la courbe $(C)$ est croissante sur $]-\infty ,0]$ et décroissante sur $[0,+\infty [$ ; elle admet un maximum au point $(0,1)$, tend vers $0$ en $-\infty$ (l'axe des abscisses est asymptote), coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $1$ puis décroît rapidement vers $-\infty$ (elle est déjà en dessous de $-2$ avant $x=2$). La partie hachurée est le domaine situé sous $(C)$ et au-dessus de l'axe des abscisses, entre les droites $x=0$ et $x=1$.]

   1. À partir du graphique ci-dessus, indiquer si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse (aucune justification n'est demandée) : A. « L'équation $g(x)=\frac{1}{2}$ admet une seule solution dans $\mathbb{R}$ » (0,5 pt) B. « L'inéquation $g(x)\ge 2$ n'admet pas de solutions dans $\mathbb{R}$ » (0,5 pt) C. « Pour tout $x$ de $]-\infty ,0]$, $g^{\prime }(x)\le 0$ » (0,5 pt) D. « On a : $g([0,1])=[0,1]$ » (0,5 pt)
   2. (a) Calculer ${\int }_0^1{e}^x\mathrm{d}x$. (0,5 pt) (b) En utilisant une intégration par parties, montrer que ${\int }_0^{1}x{e}^x\mathrm{d}x=1$. (0,75 pt) (c) En déduire l'aire de la partie hachurée. (0,75 pt)
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   1. Lecture graphique : A. Fausse : la droite horizontale $y=\frac{1}{2}$ coupe la courbe $(C)$ en deux points (un point d'abscisse négative, où $(C)$ monte de $0$ vers $1$, et un point d'abscisse comprise entre $0$ et $1$, où $(C)$ redescend de $1$ vers $0$) ; l'équation $g(x)=\frac{1}{2}$ admet donc deux solutions. B. Vraie : le maximum de $g$ est $g(0)=1<2$, donc $g(x)\ge 2$ n'a pas de solution. C. Fausse : sur $]-\infty ,0]$ la courbe est croissante, donc $g^{\prime }(x)\ge 0$ (et non $g^{\prime }(x)\le 0$) sur cet intervalle. D. Vraie : sur $[0,1]$, $g$ est continue et décroissante de $g(0)=1$ à $g(1)=0$, donc $g([0,1])=[0,1]$.
   2. (a) La fonction $x\to e^x$ est sa propre primitive : ${\int }_0^1{e}^x\mathrm{d}x=[e^x{]}_0^1=e^1-e^0=e-1$. (b) On pose $u(x)=x$ et $v^{\prime }(x)=e^x$, donc $u^{\prime }(x)=1$ et $v(x)=e^x$ (fonctions dérivables à dérivées continues sur $[0,1]$). Par intégration par parties : ${\int }_0^{1}x{e}^x\mathrm{d}x=[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^{1}1\times e^x\mathrm{d}x=(1\times e^1-0\times e^0)-(e-1)=e-e+1=1$. (c) Sur $[0,1]$, $g(x)\ge 0$ (la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, ce que confirme $1-x\ge 0$ et $e^x>0$). L'aire de la partie hachurée est donc $\mathcal{A}={\int }_0^{1}g(x)\mathrm{d}x={\int }_0^1(1-x)e^x\mathrm{d}x={\int }_0^1{e}^x\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}x{e}^x\mathrm{d}x=(e-1)-1=e-2$. L'aire de la partie hachurée est $(e-2)$ u.a., soit environ $0,72$ u.a.