Suites numériques, calcul des probabilités, étude d'une fonction et calcul intégral

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques5 pts

   Chapitre : Suites numériques (convergence + finance)

   Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $u_0=5$ et $u_{n+1}=\frac{2}{5}{u}_n-1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n>-\frac{5}{3}$. (1 pt) (b) Vérifier que $u_{n+1}-u_n=-\frac{3}{5}(u_n+\frac{5}{3})$, puis en déduire que $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite décroissante. (0,75 pt) (c) Dire pourquoi la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente. (0,5 pt)
   3. On pose pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_n=u_n+\frac{5}{3}$. (a) Montrer que $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{5}$. (0,5 pt) (b) Calculer $v_0$. (0,25 pt) (c) Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt) (d) En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n=\frac{20}{3}(\frac{2}{5}{)}^n-\frac{5}{3}$. (0,5 pt) (e) Calculer ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n$. (0,5 pt)
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   1. $u_1=\frac{2}{5}{u}_0-1=\frac{2}{5}\times 5-1=2-1=1$ et $u_2=\frac{2}{5}{u}_1-1=\frac{2}{5}\times 1-1=\frac{2}{5}-\frac{5}{5}=-\frac{3}{5}$. Donc $u_1=1$ et $u_2=-\frac{3}{5}$.
   2. (a) Montrons par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n>-\frac{5}{3}$. Initialisation : $u_0=5>-\frac{5}{3}$, la propriété est vraie pour $n=0$. Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ ; supposons que $u_n>-\frac{5}{3}$. En multipliant par $\frac{2}{5}>0$ : $\frac{2}{5}{u}_n>\frac{2}{5}\times (-\frac{5}{3})=-\frac{2}{3}$, puis en retranchant $1$ : $u_{n+1}=\frac{2}{5}{u}_n-1>-\frac{2}{3}-1=-\frac{5}{3}$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$. Conclusion : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n>-\frac{5}{3}$. (b) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{2}{5}{u}_n-1-u_n=-\frac{3}{5}{u}_n-1=-\frac{3}{5}(u_n+\frac{5}{3})$, car $-\frac{3}{5}\times \frac{5}{3}=-1$. D'après (a), $u_n+\frac{5}{3}>0$ ; comme $-\frac{3}{5}<0$, on obtient $u_{n+1}-u_n<0$ pour tout $n$. Donc $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante. (c) La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $-\frac{5}{3}$ (question 2.a) : d'après le théorème de convergence des suites monotones, elle est convergente.
   3. (a) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_{n+1}=u_{n+1}+\frac{5}{3}=\frac{2}{5}{u}_n-1+\frac{5}{3}=\frac{2}{5}{u}_n+\frac{2}{3}=\frac{2}{5}(u_n+\frac{5}{3})=\frac{2}{5}{v}_n$, car $\frac{2}{5}\times \frac{5}{3}=\frac{2}{3}$. Donc $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{2}{5}$. (b) $v_0=u_0+\frac{5}{3}=5+\frac{5}{3}=\frac{15}{3}+\frac{5}{3}=\frac{20}{3}$. (c) Suite géométrique de raison $\frac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\frac{20}{3}$ : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $v_n=v_0\times q^n=\frac{20}{3}(\frac{2}{5}{)}^n$. (d) Comme $v_n=u_n+\frac{5}{3}$, on a $u_n=v_n-\frac{5}{3}$, d'où pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n=\frac{20}{3}(\frac{2}{5}{)}^n-\frac{5}{3}$. (e) Comme $-1<\frac{2}{5}<1$, ${\lim }_{n\to +\infty }(\frac{2}{5}{)}^n=0$, donc ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{20}{3}(\frac{2}{5}{)}^n=0$ et ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=0-\frac{5}{3}=-\frac{5}{3}$.

2. Exercice 2Calcul des probabilités3 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Une urne contient trois boules vertes numérotées 1 ; 2 ; 3, trois boules rouges numérotées 1 ; 2 ; 3 et trois boules blanches numérotées 1 ; 2 ; 2 (les neuf boules sont indiscernables au toucher).

   On tire simultanément au hasard trois boules de l'urne.

   On considère les événements suivants : $A$ : « Les trois boules tirées portent le même numéro » $B$ : « Les trois boules tirées sont de couleurs deux à deux différentes »

   1. Montrer que $p(A)=\frac{5}{84}$. (0,75 pt)
   2. Calculer $p(B)$. (0,75 pt)
   3. Montrer que $p(A\cap B)=\frac{1}{28}$. (0,75 pt)
   4. En déduire $p(A\cup B)$. (0,75 pt)
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   On tire simultanément $3$ boules parmi $9$ : l'univers $\Omega$ est l'ensemble des combinaisons de $3$ boules parmi $9$, toutes équiprobables (boules indiscernables au toucher) : $\mathrm{card}(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$.

   1. Les boules portant le numéro $1$ sont : $V_1$, $R_1$, $B_1$ (trois boules) ; celles portant le numéro $2$ : $V_2$, $R_2$, $B_2$, $B_2$ (quatre boules) ; celles portant le numéro $3$ : $V_3$, $R_3$ (deux boules seulement, on ne peut donc pas en tirer trois). $\mathrm{card}(A)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=1+4=5$, d'où $p(A)=\mathrm{card}\frac{A}{\mathrm{card}}(\Omega )=\frac{5}{84}$.
   2. Les trois boules sont de couleurs deux à deux différentes : on tire une boule verte parmi $3$, une rouge parmi $3$ et une blanche parmi $3$ : $\mathrm{card}(B)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3\times 3\times 3=27$. Donc $p(B)=\frac{27}{84}=\frac{9}{28}$.
   3. $A\cap B$ : les trois boules portent le même numéro et sont de trois couleurs différentes (une verte, une rouge, une blanche). Numéro $1$ : $V_1{R}_1{B}_1$, soit $1$ tirage. Numéro $2$ : $V_2$, $R_2$ et l'une des deux boules $B_2$, soit $1\times 1\times 2=2$ tirages. Numéro $3$ : impossible (pas de boule blanche numérotée $3$). $\mathrm{card}(A\cap B)=1+2=3$, d'où $p(A\cap B)=\frac{3}{84}=\frac{1}{28}$.
   4. $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\frac{5}{84}+\frac{27}{84}-\frac{3}{84}=\frac{29}{84}$.

3. Exercice 3Étude d'une fonction numérique8 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions

   Soit $h$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $D=]0,e[\cup ]e,+\infty [$ par : $h(x)=\frac{\ln x+1}{\ln x-1}.$

   1. (a) En remarquant que pour tout $x\ne 1$, $h(x)=\frac{1+\frac{1}{\ln x}}{1-\frac{1}{\ln x}}$, montrer que ${\lim }_{x\to 0^{+}}h(x)=1$ et que ${\lim }_{x\to +\infty }h(x)=1$. (2 pt) (b) Montrer que ${\lim }_{x\to e^{-}}h(x)=-\infty$ et que ${\lim }_{x\to e^{+}}h(x)=+\infty$. (2 pt)
   2. (a) Montrer que pour tout $x$ de $D$ : $h^{\prime }(x)=\frac{-2}{x(\ln x-1{)}^2}$. (1 pt) (b) Calculer $h(\frac{1}{e})$ et donner le signe de $h^{\prime }(x)$, puis dresser le tableau de variations de $h$. (1,25 pt) (c) Déterminer, à l'aide du tableau de variations : i. l'ensemble des solutions de l'inéquation : $h(x)\le 0$ ; (1 pt) ii. l'image de l'intervalle $]0,e[$ par la fonction $h$. (0,75 pt)
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   1. (a) Pour $x\in D$ et $x\ne 1$, $\ln x\ne 0$ ; en divisant le numérateur et le dénominateur de $h(x)$ par $\ln x$ : $h(x)=\frac{\frac{\ln x+1}{\ln x}}{\frac{\ln x-1}{\ln x}}=\frac{1+\frac{1}{\ln x}}{1-\frac{1}{\ln x}}$. En $0^{+}$ : ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$, donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\ln x}=0$, d'où ${\lim }_{x\to 0^{+}}h(x)=\frac{1+0}{1-0}=1$. En $+\infty$ : ${\lim }_{x\to +\infty }\ln x=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{\ln x}=0$, d'où ${\lim }_{x\to +\infty }h(x)=\frac{1+0}{1-0}=1$. (b) Quand $x\to e$, $\ln x\to \ln e=1$, donc le numérateur $\ln x+1\to 2>0$ et le dénominateur $\ln x-1\to 0$. Si $x<e$ alors $\ln x<1$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante), donc $\ln x-1<0$ : le dénominateur tend vers $0^{-}$ et ${\lim }_{x\to e^{-}}h(x)=-\infty$. Si $x>e$ alors $\ln x>1$, donc $\ln x-1>0$ : le dénominateur tend vers $0^{+}$ et ${\lim }_{x\to e^{+}}h(x)=+\infty$.
   2. (a) $h=\frac{u}{v}$ avec $u(x)=\ln x+1$, $v(x)=\ln x-1$, $u^{\prime }(x)=v^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, et $v$ ne s'annule pas sur $D$. Pour tout $x$ de $D$ : $h^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v(x{)}^2}=\frac{\frac{1}{x}(\ln x-1)-\frac{1}{x}(\ln x+1)}{(\ln x-1{)}^2}=\frac{\frac{1}{x}(\ln x-1-\ln x-1)}{(\ln x-1{)}^2}=\frac{-2}{x(\ln x-1{)}^2}$. (b) $h(\frac{1}{e})=\frac{\ln (\frac{1}{e})+1}{\ln (\frac{1}{e})-1}=\frac{-1+1}{-1-1}=\frac{0}{-2}=0$. Pour tout $x$ de $D$ : $x>0$ et $(\ln x-1{)}^2>0$, donc $h^{\prime }(x)=\frac{-2}{x(\ln x-1{)}^2}<0$ : $h$ est strictement décroissante sur $]0,e[$ et strictement décroissante sur $]e,+\infty [$. Tableau de variations de $h$ : sur $]0,e[$, $h$ décroît de $1$ (limite en $0^{+}$) vers $-\infty$ (limite en $e^{-}$), en passant par $h(\frac{1}{e})=0$ ; sur $]e,+\infty [$, $h$ décroît de $+\infty$ (limite en $e^{+}$) vers $1$ (limite en $+\infty$). Le signe de $h^{\prime }$ est $-$ sur chacun des deux intervalles. (c) i. Sur $]e,+\infty [$, $h$ est strictement décroissante et tend vers $1$ en $+\infty$, donc $h(x)>1>0$ : aucune solution. Sur $]0,e[$, $h$ est strictement décroissante et $h(\frac{1}{e})=0$ : $h(x)\le 0<\Rightarrow h(x)\le h(\frac{1}{e})<\Rightarrow x\ge \frac{1}{e}$. L'ensemble des solutions de $h(x)\le 0$ est $S=[\frac{1}{e},e[$. ii. $h$ est continue et strictement décroissante sur $]0,e[$, avec ${\lim }_{x\to 0^{+}}h(x)=1$ et ${\lim }_{x\to e^{-}}h(x)=-\infty$, donc $h(]0,e[)=]-\infty ,1[$.

4. Exercice 4Calcul intégral4 pts

   Chapitres : Calcul intégral · Fonctions logarithmiques

   On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ de la variable réelle $x$ définies respectivement sur $\mathbb{R}$ et sur $]0,+\infty [$ par : $f(x)=x^2-4x+3$ et $g(x)=\ln x$.

   1. Calculer $g(1)$, $f(1)$ et $f(3)$. (0,75 pt)
   2. Ci-dessous, $(C_f)$ et $(C_g)$ sont les courbes représentatives respectives de $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. (a) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que ${\int }_1^2\ln x\mathrm{d}x=2\ln 2-1$. (1 pt) (b) Calculer ${\int }_1^2(x^2-4x+3)\mathrm{d}x$. (1,25 pt) (c) En déduire que l'aire de la partie hachurée est égale à $(2\ln 2-\frac{1}{3})$ u.a. (1 pt)

   [Figure : dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, la parabole $(C_f)$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $1$ et $3$, passe par $(0,3)$ et a pour sommet le point $(2,-1)$ ; la courbe $(C_g)$ de $\ln$ passe par le point $(1,0)$ et se trouve au-dessus de $(C_f)$ sur $]1,3[$. La partie hachurée est la partie du plan délimitée par $(C_g)$ (au-dessus), $(C_f)$ (en dessous) et la droite d'équation $x=2$ ; elle est comprise entre les droites $x=1$ et $x=2$.]

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   1. $g(1)=\ln 1=0$ ; $f(1)=1-4+3=0$ ; $f(3)=9-12+3=0$. (Les deux courbes passent par le point $(1,0)$ et $(C_f)$ recoupe l'axe des abscisses en $x=3$.)
   2. (a) On pose $u(x)=\ln x$ et $v^{\prime }(x)=1$, donc $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=x$ ; $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[1,2]$. Par intégration par parties : ${\int }_1^2\ln x\mathrm{d}x=[x\ln x{]}_1^2-{\int }_1^{2}x\times \frac{1}{x}\mathrm{d}x=(2\ln 2-1\times \ln 1)-{\int }_1^{2}1\mathrm{d}x=2\ln 2-[x{]}_1^2=2\ln 2-(2-1)=2\ln 2-1$. (b) Une primitive de $x^2-4x+3$ est $\frac{x^3}{3}-2x^2+3x$, donc ${\int }_1^2(x^2-4x+3)\mathrm{d}x=[\frac{x^3}{3}-2x^2+3x{]}_1^2=(\frac{8}{3}-8+6)-(\frac{1}{3}-2+3)=(\frac{8}{3}-2)-(\frac{1}{3}+1)=\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}$. (c) Sur $[1,2]$, la partie hachurée est délimitée par $(C_g)$ au-dessus et $(C_f)$ en dessous ($g(x)\ge f(x)$ sur $[1,2]$ d'après la figure) et par la droite $x=2$. Son aire, en unités d'aire, est $\mathcal{A}={\int }_1^2(g(x)-f(x))\mathrm{d}x={\int }_1^2\ln x\mathrm{d}x-{\int }_1^2(x^2-4x+3)\mathrm{d}x=(2\ln 2-1)-(-\frac{2}{3})=2\ln 2-1+\frac{2}{3}=2\ln 2-\frac{1}{3}$. Donc l'aire de la partie hachurée est $(2\ln 2-\frac{1}{3})$ u.a. (soit environ $1,05$ u.a.).