Suites numériques, calcul de probabilités, étude d'une fonction logarithme et calcul d'aire avec une exponentielle

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques2 pts

   Chapitre : Suites numériques (convergence + finance)

   Soit $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $w_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

   1. Vérifier que $w_n=1-\frac{2}{2^n+1}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (0,25 pt)
   2. Montrer que $w_n<1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (0,5 pt)
   3. Montrer que $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite croissante (en utilisant la question 1.). (0,75 pt)
   4. La suite $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse. (0,5 pt)
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   1. Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $1-\frac{2}{2^n+1}=\frac{2^n+1-2}{2^n+1}=\frac{2^n-1}{2^n+1}=w_n$.
   2. Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $2^n+1>0$, donc $\frac{2}{2^n+1}>0$ et $w_n=1-\frac{2}{2^n+1}<1$.
   3. Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, en utilisant la question 1. : $w_{n+1}-w_n=(1-\frac{2}{2^{n+1}+1})-(1-\frac{2}{2^n+1})=\frac{2}{2^n+1}-\frac{2}{2^{n+1}+1}=\frac{2(2^{n+1}+1)-2(2^n+1)}{(2^n+1)(2^{n+1}+1)}=\frac{2\times 2^{n+1}-2\times 2^n}{(2^n+1)(2^{n+1}+1)}=\frac{2\times 2^n(2-1)}{(2^n+1)(2^{n+1}+1)}=\frac{2^{n+1}}{(2^n+1)(2^{n+1}+1)}$. Ce quotient est strictement positif, donc $w_{n+1}>w_n$ : la suite $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante. (Autre rédaction : $2^n$ est croissant, donc $2^n+1$ est croissant, $\frac{2}{2^n+1}$ est décroissant et $w_n=1-\frac{2}{2^n+1}$ est croissant.)
   4. La suite $(w_n)$ est croissante (question 3.) et majorée par $1$ (question 2.). D'après le théorème de convergence des suites monotones, elle est convergente. (De plus ${\lim }_{n\to +\infty }{2}^n=+\infty$ donne ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2}{2^n+1}=0$, donc ${\lim }_{n\to +\infty }{w}_n=1$.)

2. Exercice 2Suites numériques3 pts

   Chapitre : Suites numériques (convergence + finance)

   Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $u_0=\frac{1}{2}$ et $u_{n+1}=\frac{5}{7}{u}_n-\frac{5}{7}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

   1. Calculer $u_1$. (0,25 pt)
   2. On pose $v_n=u_n+\frac{5}{2}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (a) Calculer $v_0$. (0,25 pt) (b) Montrer que $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $\frac{5}{7}$. (1 pt) (c) En déduire $v_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt)
   3. (a) Vérifier que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n=3(\frac{5}{7}{)}^n-\frac{5}{2}$. (0,5 pt) (b) Calculer ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n$. (0,5 pt)
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   1. $u_1=\frac{5}{7}{u}_0-\frac{5}{7}=\frac{5}{7}\times \frac{1}{2}-\frac{5}{7}=\frac{5}{14}-\frac{10}{14}=-\frac{5}{14}$.
   2. (a) $v_0=u_0+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$. (b) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_{n+1}=u_{n+1}+\frac{5}{2}=\frac{5}{7}{u}_n-\frac{5}{7}+\frac{5}{2}=\frac{5}{7}{u}_n+\frac{-10+35}{14}=\frac{5}{7}{u}_n+\frac{25}{14}$. Or $\frac{5}{7}{v}_n=\frac{5}{7}(u_n+\frac{5}{2})=\frac{5}{7}{u}_n+\frac{25}{14}$. Donc $v_{n+1}=\frac{5}{7}{v}_n$ pour tout $n$ : $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $\frac{5}{7}$ et de premier terme $v_0=3$. (c) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_n=v_0\times (\frac{5}{7}{)}^n=3(\frac{5}{7}{)}^n$.
   3. (a) Comme $v_n=u_n+\frac{5}{2}$, on a $u_n=v_n-\frac{5}{2}$, donc pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n=3(\frac{5}{7}{)}^n-\frac{5}{2}$. (b) Comme $-1<\frac{5}{7}<1$, ${\lim }_{n\to +\infty }(\frac{5}{7}{)}^n=0$, donc ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=3\times 0-\frac{5}{2}=-\frac{5}{2}$.

3. Exercice 3Calcul des probabilités1 pt

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   $(\Omega ,p)$ est un espace probabilisé fini et $X$ la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

   $x_i$	$0$	$1$	$3$	$4$
   $p(X=x_i)$	$\frac{1}{3}$		$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{4}$

   1. Compléter le tableau ci-dessus. (0,5 pt)
   2. Calculer $E(X)$. (0,5 pt)
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   1. La somme des probabilités d'une loi de probabilité vaut $1$ : $p(X=1)=1-(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4})=1-(\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{3}{12})=1-\frac{9}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Tableau complété : $p(X=0)=\frac{1}{3}$, $p(X=1)=\frac{1}{4}$, $p(X=3)=\frac{1}{6}$, $p(X=4)=\frac{1}{4}$.
   2. $E(X)=0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{4}+3\times \frac{1}{6}+4\times \frac{1}{4}=0+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{4}{4}=\frac{7}{4}$. Donc $E(X)=\frac{7}{4}=1,75$.

4. Exercice 4Calcul des probabilités3 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Une urne contient quatre boules rouges et trois boules vertes (toutes les boules sont indiscernables au toucher). On considère l'expérience suivante : « On tire simultanément et au hasard trois boules de l'urne. » Soit l'événement $A$ : « Les trois boules tirées sont de même couleur » et l'événement $B$ : « Tirer au moins une boule verte ».

   1. Vérifier que $p(A)=\frac{1}{7}$ et calculer $p(B)$. (1,5 pt)
   2. On répète l'expérience citée ci-dessus 4 fois de suite dans les mêmes conditions. Montrer que la probabilité pour que l'événement $A$ se réalise exactement 3 fois est $\frac{24}{7^4}$. (1,5 pt)
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   1. L'urne contient $4+3=7$ boules ; on tire simultanément trois boules, donc un tirage est une combinaison de $3$ boules parmi $7$, et le nombre de tirages équiprobables est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$. $A$ est réalisé si les trois boules sont rouges ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ tirages) ou toutes vertes ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)=1$ tirage) : $p(A)=\frac{4+1}{35}=\frac{5}{35}=\frac{1}{7}$. L'événement contraire de $B$ est $\overline{B}$ : « aucune boule verte », c'est-à-dire « les trois boules sont rouges », de probabilité $p(\overline{B})=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)}{35}=\frac{4}{35}$. Donc $p(B)=1-p(\overline{B})=1-\frac{4}{35}=\frac{31}{35}$.
   2. On répète $4$ fois, de façon indépendante et dans les mêmes conditions, une épreuve dont le « succès » est la réalisation de $A$, de probabilité $p=\frac{1}{7}$ (échec de probabilité $1-p=\frac{6}{7}$). Le nombre $Y$ de réalisations de $A$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=\frac{1}{7}$, donc $p(Y=3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)(\frac{1}{7}{)}^3(\frac{6}{7}{)}^1=4\times \frac{1}{7^3}\times \frac{6}{7}=\frac{4\times 6}{7^4}=\frac{24}{7^4}$. La probabilité que $A$ se réalise exactement $3$ fois est bien $\frac{24}{7^4}$ ($=\frac{24}{2401}\approx 0,01$).

5. Exercice 5Étude de fonctions9 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions

   Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par : $g(x)=\frac{-2+\ln x}{-1+\ln x}$. Soit $(C_g)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. Vérifier que le domaine de définition de la fonction $g$ est $D_g=]0,e[\cup ]e,+\infty [$. (1 pt)
   2. (a) Montrer que ${\lim }_{x\to 0^{+}}g(x)=1$. (1 pt) (b) Montrer que ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=1$ et donner une interprétation géométrique du résultat. (1,5 pt) (c) Montrer que ${\lim }_{x\to e^{-}}g(x)=+\infty$ et calculer ${\lim }_{x\to e^{+}}g(x)$. (1 pt) (d) Donner une interprétation géométrique des deux résultats précédents. (0,5 pt)
   3. (a) Montrer que $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x(\ln x-1{)}^2}$ pour tout $x$ de $D_g$. (1 pt) (b) Montrer que $g$ est strictement croissante sur chacun des intervalles $]0,e[$ et $]e,+\infty [$. (1 pt) (c) Calculer $g(e^2)$ puis dresser le tableau de variations de $g$. (1 pt) (d) À l'aide du tableau de variations de $g$, donner l'ensemble des solutions de l'inéquation : $g(x)\ge 0$. (1 pt)
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   1. $g(x)$ existe si et seulement si $\ln x$ existe, c'est-à-dire $x>0$, et si le dénominateur est non nul : $-1+\ln x\ne 0<\Rightarrow \ln x\ne 1<\Rightarrow x\ne e$. Donc $D_g=]0,+\infty [\setminus e=]0,e[\cup ]e,+\infty [$.
   2. (a) Quand $x\to 0^{+}$, $\ln x\to -\infty$, donc la fraction est une forme indéterminée « $\frac{\infty }{\infty }$ ». Pour $x\in ]0,e[$, $\ln x\ne 0$ dès que $x\ne 1$, et en divisant numérateur et dénominateur par $\ln x$ : $g(x)=\frac{-\frac{2}{\ln x}+1}{-\frac{1}{\ln x}+1}$. Or ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\ln x}=0$ (car $\ln x\to -\infty$), donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}g(x)=\frac{0+1}{0+1}=1$. (b) De même, quand $x\to +\infty$, $\ln x\to +\infty$ et $\frac{1}{\ln x}\to 0$, donc avec la même écriture ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=\frac{0+1}{0+1}=1$. Interprétation : la droite d'équation $y=1$ est une asymptote horizontale à la courbe $(C_g)$ au voisinage de $+\infty$ (et aussi la courbe « part » du point $(0,1)$ au voisinage de $0$). (c) Quand $x\to e$, $\ln x\to 1$, donc le numérateur $-2+\ln x\to -1<0$ et le dénominateur $-1+\ln x\to 0$. Si $x\to e^{-}$ (avec $x<e$) : $\ln x<1$ (car $\ln$ est strictement croissante), donc $-1+\ln x\to 0^{-}$ ; le quotient d'un nombre proche de $-1$ par un nombre négatif proche de $0$ tend vers $+\infty$ : ${\lim }_{x\to e^{-}}g(x)=+\infty$. Si $x\to e^{+}$ (avec $x>e$) : $\ln x>1$, donc $-1+\ln x\to 0^{+}$ et ${\lim }_{x\to e^{+}}g(x)=-\infty$. (d) La droite d'équation $x=e$ est une asymptote verticale à la courbe $(C_g)$.
   3. (a) Sur $D_g$, $g$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. Avec $u(x)=-2+\ln x$ et $v(x)=-1+\ln x$, $u^{\prime }(x)=v^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ : $g^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{\frac{1}{x}(-1+\ln x)-(-2+\ln x)\frac{1}{x}}{(-1+\ln x{)}^2}=\frac{\frac{1}{x}(-1+\ln x+2-\ln x)}{(\ln x-1{)}^2}=\frac{\frac{1}{x}\times 1}{(\ln x-1{)}^2}$. Donc $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x(\ln x-1{)}^2}$ pour tout $x$ de $D_g$. (b) Pour tout $x$ de $D_g$ : $x>0$ et $(\ln x-1{)}^2>0$ (carré d'un réel non nul car $x\ne e$), donc $g^{\prime }(x)>0$. Ainsi $g$ est strictement croissante sur $]0,e[$ et strictement croissante sur $]e,+\infty [$. (c) $g(e^2)=\frac{-2+\ln (e^2)}{-1+\ln (e^2)}=\frac{-2+2}{-1+2}=\frac{0}{1}=0$. Tableau de variations de $g$ : sur $]0,e[$, $g$ est strictement croissante, de $1$ (limite en $0^{+}$) vers $+\infty$ (limite en $e^{-}$) ; sur $]e,+\infty [$, $g$ est strictement croissante, de $-\infty$ (limite en $e^{+}$) vers $1$ (limite en $+\infty$), en passant par $g(e^2)=0$. (d) Sur $]0,e[$ : $g$ est strictement croissante et ${\lim }_{x\to 0^{+}}g(x)=1$, donc $g(x)>1>0$ pour tout $x$ de $]0,e[$ : tout cet intervalle est solution. Sur $]e,+\infty [$ : $g$ est strictement croissante et $g(e^2)=0$, donc $g(x)\ge 0<\Rightarrow x\ge e^2$. L'ensemble des solutions de l'inéquation $g(x)\ge 0$ est $S=]0,e[\cup [e^2,+\infty [$.

6. Exercice 6Calcul intégral2 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Calcul intégral

   Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=e^{-x}-1$. Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ et $(\Delta )$ la droite d'équation $y=-x+2$ et $A$ le point d'abscisse $a$ ($a>0$), intersection de $(C_f)$ et $(\Delta )$ (voir figure ci-dessous). [Figure : la courbe $(C_f)$ est strictement décroissante, passe par l'origine $O$ et tend vers la droite $y=-1$ en $+\infty$ ; la droite $(\Delta ):y=-x+2$ coupe l'axe des ordonnées en $(0,2)$ et l'axe des abscisses au point $(2,0)$ ; elle coupe $(C_f)$ au point $A$ d'abscisse $a$ (environ $2,95$), situé sous l'axe des abscisses ; la droite verticale $x=a$ est tracée en pointillés. La partie hachurée est la partie du plan située au-dessous de l'axe des abscisses et au-dessus de la courbe $(C_f)$, entre $x=0$ et $x=a$, limitée à droite par la droite $(\Delta )$ (entre le point $(2,0)$ et le point $A$).]

   1. Vérifier que $e^{-a}=3-a$. (0,5 pt)
   2. Montrer que ${\int }_0^a(e^{-x}-1)\mathrm{d}x=-2$. (1 pt)
   3. En déduire l'aire de la partie hachurée. (0,5 pt)
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   1. Le point $A$ d'abscisse $a$ appartient à $(C_f)$ et à $(\Delta )$, donc son ordonnée vérifie $f(a)=-a+2$, c'est-à-dire $e^{-a}-1=-a+2$, soit $e^{-a}=3-a$.
   2. Une primitive de $x\to e^{-x}-1$ sur $\mathbb{R}$ est $x\to -e^{-x}-x$ (car $(-e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}$). Donc ${\int }_0^a(e^{-x}-1)\mathrm{d}x=[-e^{-x}-x{]}_0^a=(-e^{-a}-a)-(-e^0-0)=-e^{-a}-a+1$. D'après la question 1., $e^{-a}=3-a$, donc ${\int }_0^a(e^{-x}-1)\mathrm{d}x=-(3-a)-a+1=-3+a-a+1=-2$.
   3. La partie hachurée est limitée en haut par l'axe des abscisses (de $x=0$ à $x=2$) puis par la droite $(\Delta )$ (de $x=2$ à $x=a$), et en bas par la courbe $(C_f)$ (de $x=0$ à $x=a$). Sur $[0,a]$, $f(x)=e^{-x}-1\le 0$ (car $e^{-x}\le 1$ pour $x\ge 0$), donc la courbe est au-dessous de l'axe des abscisses. L'aire du domaine compris entre $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=a$ est ${\int }_0^a(0-f(x))\mathrm{d}x=-{\int }_0^a(e^{-x}-1)\mathrm{d}x=2$ (question 2.). Il faut en retirer le triangle rectangle de sommets $(2,0)$, $(a,0)$ et $A(a,2-a)$, situé entre l'axe des abscisses et $(\Delta )$ pour $x\in [2,a]$, dont les côtés de l'angle droit mesurent $a-2$ et $|2-a|=a-2$ ; son aire est $\frac{1}{2}(a-2{)}^2$. Donc l'aire de la partie hachurée est $\mathcal{A}=2-\frac{1}{2}(a-2{)}^2=2-\frac{a^2-4a+4}{2}=2a-\frac{a^2}{2}=\frac{a(4-a)}{2}$ unité d'aire. (Numériquement, $a\approx 2,95$ d'après l'équation $e^{-a}=3-a$, donc $\mathcal{A}\approx 1,55$ u.a.)