Suites numériques, calcul de probabilités, limites et étude d'une fonction exponentielle

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques2 pts

   Chapitre : Suites numériques (convergence + finance)

   Soit $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $w_0=1$ et $w_{n+1}=\frac{2}{7}{w}_n+1$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

   1. Montrer par récurrence que $w_n<\frac{7}{5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (1 pt)
   2. (a) Montrer que $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite croissante. (0,5 pt) (b) La suite $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse. (0,5 pt)
   Voir la correction

   1. Initialisation : $w_0=1<\frac{7}{5}$ (car $\frac{7}{5}=1,4$), la propriété est vraie pour $n=0$. Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $w_n<\frac{7}{5}$. Alors $\frac{2}{7}{w}_n<\frac{2}{7}\times \frac{7}{5}=\frac{2}{5}$, donc $w_{n+1}=\frac{2}{7}{w}_n+1<\frac{2}{5}+1=\frac{7}{5}$. Conclusion : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $w_n<\frac{7}{5}$.
   2. (a) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $w_{n+1}-w_n=\frac{2}{7}{w}_n+1-w_n=1-\frac{5}{7}{w}_n=\frac{5}{7}(\frac{7}{5}-w_n)$. D'après la question 1., $\frac{7}{5}-w_n>0$, donc $w_{n+1}-w_n>0$ : la suite $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante. (b) La suite $(w_n)$ est croissante et majorée par $\frac{7}{5}$. D'après le théorème de convergence des suites monotones, elle est convergente. (Sa limite $l$ vérifie $l=\frac{2}{7}l+1$, soit $l=\frac{7}{5}$.)

2. Exercice 2Suites numériques3 pts

   Chapitre : Suites numériques (convergence + finance)

   Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{3+7u_n}{7+3u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (0,5 pt)
   2. On pose $v_n=\frac{1-u_n}{1+u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (a) Calculer $v_0$. (0,25 pt) (b) Montrer que $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{5}$. (1 pt) (c) En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $v_n=(\frac{2}{5}{)}^n$. (0,25 pt)
   3. (a) Vérifier que $u_n=\frac{1-v_n}{1+v_n}$. (0,5 pt) (b) En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n=\frac{1-(\frac{2}{5}{)}^n}{1+(\frac{2}{5}{)}^n}$. (0,25 pt) (c) Calculer ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n$. (0,25 pt)
   Voir la correction

   1. $u_1=\frac{3+7\times 0}{7+3\times 0}=\frac{3}{7}$ et $u_2=\frac{3+7\times \frac{3}{7}}{7+3\times \frac{3}{7}}=\frac{3+3}{7+\frac{9}{7}}=\frac{6}{\frac{58}{7}}=\frac{42}{58}=\frac{21}{29}$. Donc $u_1=\frac{3}{7}$ et $u_2=\frac{21}{29}$.
   2. (a) $v_0=\frac{1-u_0}{1+u_0}=\frac{1-0}{1+0}=1$. (b) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $1-u_{n+1}=1-\frac{3+7u_n}{7+3u_n}=\frac{7+3u_n-3-7u_n}{7+3u_n}=\frac{4-4u_n}{7+3u_n}=\frac{4(1-u_n)}{7+3u_n}$ et $1+u_{n+1}=\frac{7+3u_n+3+7u_n}{7+3u_n}=\frac{10+10u_n}{7+3u_n}=\frac{10(1+u_n)}{7+3u_n}$. Donc $v_{n+1}=\frac{1-u_{n+1}}{1+u_{n+1}}=\frac{4(1-u_n)}{7+3u_n}\times \frac{7+3u_n}{10(1+u_n)}=\frac{4}{10}\times \frac{1-u_n}{1+u_n}=\frac{2}{5}{v}_n$. Ainsi $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=1$. (c) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_n=v_0\times (\frac{2}{5}{)}^n=(\frac{2}{5}{)}^n$.
   3. (a) De $v_n=\frac{1-u_n}{1+u_n}$ on tire $v_n(1+u_n)=1-u_n$, soit $v_n+v_n{u}_n=1-u_n$, d'où $u_n(1+v_n)=1-v_n$ et, comme $1+v_n>0$ (car $v_n=(\frac{2}{5}{)}^n>0$) : $u_n=\frac{1-v_n}{1+v_n}$. (b) En remplaçant $v_n$ par $(\frac{2}{5}{)}^n$ : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n=\frac{1-(\frac{2}{5}{)}^n}{1+(\frac{2}{5}{)}^n}$. (c) Comme $-1<\frac{2}{5}<1$, ${\lim }_{n\to +\infty }(\frac{2}{5}{)}^n=0$, donc ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=\frac{1-0}{1+0}=1$.

3. Exercice 3Calcul des probabilités1 pt

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   $(\Omega ,p)$ est un espace probabilisé fini. On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux événements de $\Omega$ alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$. Soit $A$ et $B$ deux événements indépendants tels que : $p(A)=\frac{1}{2}$ et $p(A\cup B)=\frac{5}{8}$. Calculer $p(B)$. (1 pt)

   Voir la correction

   Les événements $A$ et $B$ sont indépendants, donc $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)=\frac{1}{2}p(B)$. D'après la formule rappelée : $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\frac{1}{2}+p(B)-\frac{1}{2}p(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}p(B)$. Or $p(A\cup B)=\frac{5}{8}$, donc $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}p(B)=\frac{5}{8}$, soit $\frac{1}{2}p(B)=\frac{5}{8}-\frac{1}{2}=\frac{5}{8}-\frac{4}{8}=\frac{1}{8}$, d'où $p(B)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$. Donc $p(B)=\frac{1}{4}$.

4. Exercice 4Calcul des probabilités3 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Une urne contient cent jetons indiscernables au toucher de couleur soit blanche soit noire et portant soit le chiffre 1 soit le chiffre 2. La répartition de ces jetons est donnée par le tableau suivant :

   Chiffre porté par le jeton / Couleur	Blanche	Noire	Total
   1	50	16	66
   2	14	20	34
   Total	64	36	100

   On tire au hasard un jeton de l'urne.

   1. Calculer les probabilités suivantes : (a) La probabilité $p_1$ pour que le jeton soit de couleur blanche. (0,5 pt) (b) La probabilité $p_2$ pour que le jeton porte le chiffre 2. (0,5 pt) (c) La probabilité $p_3$ pour que le jeton porte le chiffre 2 et soit de couleur blanche. (0,5 pt)
   2. La probabilité $p_4$ pour que le jeton tiré porte le chiffre 2 sachant qu'il est de couleur blanche. (0,5 pt)
   3. On considère la variable aléatoire $X$ qui est égale au chiffre porté par le jeton. (a) Copier et compléter le tableau suivant : (0,5 pt)

   $x_i$	$1$	$2$
   $p(X=x_i)$

   (b) Calculer $E(X)$ l'espérance mathématique de $X$. (0,5 pt)

   Voir la correction

   On tire un jeton parmi $100$ jetons indiscernables : les $100$ tirages sont équiprobables et la probabilité d'un événement est le nombre de jetons favorables divisé par $100$.

   1. (a) Il y a $64$ jetons blancs : $p_1=\frac{64}{100}=\frac{16}{25}=0,64$. (b) Il y a $34$ jetons portant le chiffre 2 : $p_2=\frac{34}{100}=\frac{17}{50}=0,34$. (c) Il y a $14$ jetons blancs portant le chiffre 2 : $p_3=\frac{14}{100}=\frac{7}{50}=0,14$.
   2. On cherche la probabilité conditionnelle de « chiffre 2 » sachant « blanche » : $p_4=\frac{p_3}{p_1}=\frac{\frac{14}{100}}{\frac{64}{100}}=\frac{14}{64}=\frac{7}{32}=0,21875$. (Directement : parmi les $64$ jetons blancs, $14$ portent le chiffre 2.)
   3. (a) $X$ prend les valeurs $1$ et $2$. Il y a $66$ jetons portant le chiffre 1 et $34$ portant le chiffre 2, donc $p(X=1)=\frac{66}{100}=\frac{33}{50}=0,66$ et $p(X=2)=\frac{34}{100}=\frac{17}{50}=0,34$. (b) $E(X)=1\times \frac{66}{100}+2\times \frac{34}{100}=\frac{66+68}{100}=\frac{134}{100}=\frac{67}{50}=1,34$.

5. Exercice 5Limites et continuité2.5 pts

   Chapitres : Limites et continuité · Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions

   1. Calculer les limites suivantes : ${\lim }_{x\to 0^{+}}(\frac{1}{x}-\ln x)$ et ${\lim }_{x\to 0^{+}}(\frac{1}{x}+\ln x)$. (1,5 pt)
   2. On rappelle que si $f$ est une fonction dérivable en $x_0$ alors ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$. Calculer ${\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}$ et ${\lim }_{x\to 1}(\frac{x}{x-1}\times \ln x)$. (1 pt)
   Voir la correction

   1. ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$ et ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$, donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}(-\ln x)=+\infty$ et, par somme, ${\lim }_{x\to 0^{+}}(\frac{1}{x}-\ln x)=+\infty$. Pour la seconde limite, la somme est une forme indéterminée « $+\infty -\infty$ ». On écrit, pour $x>0$ : $\frac{1}{x}+\ln x=\frac{1}{x}(1+x\ln x)$. Or ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ (limite usuelle), donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}(1+x\ln x)=1$, et ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$. Par produit, ${\lim }_{x\to 0^{+}}(\frac{1}{x}+\ln x)=+\infty$.
   2. La fonction $\ln$ est dérivable en $x_0=1$, avec $\ln 1=0$ et ${\ln }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, donc ${\ln }^{\prime }(1)=1$. D'après le rappel : ${\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x-\ln 1}{x-1}={\ln }^{\prime }(1)=1$. Ensuite $\frac{x}{x-1}\times \ln x=x\times \frac{\ln x}{x-1}$ ; comme ${\lim }_{x\to 1}x=1$ et ${\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}=1$, on obtient par produit ${\lim }_{x\to 1}(\frac{x}{x-1}\times \ln x)=1\times 1=1$.

6. Exercice 6Étude de fonctions et calcul intégral8.5 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Calcul intégral

   On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=1-\frac{x}{e^x}$ et soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. (a) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et donner une interprétation géométrique du résultat. (1 pt) (b) Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x$ puis donner une interprétation géométrique du résultat. (1,5 pt)
   2. (a) Montrer que $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{e^x}$. (0,5 pt) (b) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. (1 pt) (c) Donner l'équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $0$. (1 pt)
   3. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ et montrer que la courbe $(C_f)$ admet un point d'inflexion d'abscisse $2$. (1,5 pt)
   4. Dans la figure ci-dessous $(C_f)$ est la courbe représentative de $f$ et $(\Delta )$ la droite d'équation $y=1$ dans le repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. [Figure : la courbe $(C_f)$ descend de $+\infty$ (à gauche), passe par le point $(0,1)$ où elle coupe la droite horizontale $(\Delta ):y=1$, atteint son minimum au point d'abscisse $1$ puis remonte vers $(\Delta )$ sans la couper. La partie hachurée est la partie du plan comprise entre la droite $(\Delta )$ et la courbe $(C_f)$ pour $x$ variant de $0$ à $1$ ; la droite verticale d'équation $x=1$ est tracée en pointillés.] (a) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}\mathrm{d}x=\frac{e-2}{e}$. (1 pt) (b) En déduire l'aire de la partie hachurée. (1 pt)
   Voir la correction

   1. (a) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{e^x}=0$ (limite usuelle, croissances comparées), donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1-0=1$. Interprétation : la droite $(\Delta )$ d'équation $y=1$ est une asymptote horizontale à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$. (b) Pour tout réel $x$, $\frac{x}{e^x}=x{e}^{-x}$. Quand $x\to -\infty$ : ${\lim }_{x\to -\infty }x=-\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^{-x}=+\infty$ (car $-x\to +\infty$), donc par produit ${\lim }_{x\to -\infty }x{e}^{-x}=-\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1-(-\infty )=+\infty$. Puis, pour $x\ne 0$ : $f(x)/x=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x}=\frac{1}{x}-e^{-x}$. Or ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{1}{x}=0$ et ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^{-x}=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x=-\infty$. Interprétation : la courbe $(C_f)$ admet au voisinage de $-\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
   2. (a) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme différence de fonctions dérivables ($e^x\ne 0$). Avec $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$ : $(\frac{x}{e^x}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{1\times e^x-x{e}^x}{e^{2x}}=\frac{e^x(1-x)}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}$. Donc $f^{\prime }(x)=0-\frac{1-x}{e^x}=\frac{x-1}{e^x}$. (b) Pour tout réel $x$, $e^x>0$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $x-1$ : $f^{\prime }(x)<0$ pour $x<1$, $f^{\prime }(1)=0$ et $f^{\prime }(x)>0$ pour $x>1$. Tableau de variations de $f$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ,1]$, de $+\infty$ jusqu'à $f(1)=1-\frac{1}{e}$, puis strictement croissante sur $[1,+\infty [$, de $1-\frac{1}{e}$ vers $1$ (limite en $+\infty$). Le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $f(1)=1-\frac{1}{e}\approx 0,63$. (c) L'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est $y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)$. Or $f(0)=1-\frac{0}{e^0}=1$ et $f^{\prime }(0)=\frac{0-1}{e^0}=-1$. Donc la tangente a pour équation $y=-x+1$.
   3. $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{e^x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=e^x$ : $f^{\prime \prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{e^x-(x-1)e^x}{e^{2x}}=\frac{e^x(1-x+1)}{e^{2x}}=\frac{2-x}{e^x}$. Comme $e^x>0$, $f^{\prime \prime }(x)$ a le signe de $2-x$ : $f^{\prime \prime }(x)>0$ pour $x<2$, $f^{\prime \prime }(2)=0$ et $f^{\prime \prime }(x)<0$ pour $x>2$. La dérivée seconde s'annule en $2$ en changeant de signe, donc la courbe $(C_f)$ admet un point d'inflexion d'abscisse $2$ (de coordonnées $(2,1-\frac{2}{e^2})$) : elle est convexe sur $]-\infty ,2]$ et concave sur $[2,+\infty [$.
   4. (a) On pose $u(x)=x$ et $v^{\prime }(x)=e^{-x}$, donc $u^{\prime }(x)=1$ et $v(x)=-e^{-x}$ ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[0,1]$. Par intégration par parties : ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}\mathrm{d}x=[x\times (-e^{-x}){]}_0^1-{\int }_0^{1}1\times (-e^{-x})\mathrm{d}x=[-x{e}^{-x}{]}_0^1+{\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}x$. Or $[-x{e}^{-x}{]}_0^1=-1\times e^{-1}-0=-\frac{1}{e}$ et ${\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}x=[-e^{-x}{]}_0^1=-e^{-1}-(-e^0)=1-\frac{1}{e}$. Donc ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{e}+1-\frac{1}{e}=1-\frac{2}{e}=\frac{e-2}{e}$. (b) La partie hachurée est délimitée par $(\Delta )$, $(C_f)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. Pour $x\in [0,1]$ : $1-f(x)=\frac{x}{e^x}=x{e}^{-x}\ge 0$, donc $(C_f)$ est au-dessous de $(\Delta )$ et l'aire cherchée est $\mathcal{A}={\int }_0^1(1-f(x))\mathrm{d}x={\int }_0^{1}x{e}^{-x}\mathrm{d}x=\frac{e-2}{e}$. Donc l'aire de la partie hachurée est $\frac{e-2}{e}$ unité d'aire ($\approx 0,26$ u.a.).