Suites numériques, étude d'une fonction logarithme et calcul de probabilités

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques4.5 pts

   Chapitre : Suites numériques (convergence + finance)

   Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $u_0=\frac{1}{2}$ et $u_{n+1}=\frac{3u_n}{2u_n+1}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n>0$. (0,5 pt) (b) Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n<1$. (0,5 pt)
   3. (a) Vérifier que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{2u_n(1-u_n)}{2u_n+1}$. (0,5 pt) (b) En déduire que $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite croissante. (0,25 pt) (c) Déduire de ce qui précède que la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente. (0,25 pt)
   4. On pose pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_n=\frac{1}{u_n}-1$. (a) Calculer $v_0$. (0,25 pt) (b) Montrer que $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$. (0,5 pt) (c) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt)
   5. (a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n=\frac{1}{v_n+1}$. (0,25 pt) (b) Déduire de ce qui précède que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n=\frac{1}{(\frac{1}{3}{)}^n+1}$. (0,25 pt) (c) Calculer ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n$. (0,25 pt)
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   1. $u_1=\frac{3u_0}{2u_0+1}=\frac{3\times \frac{1}{2}}{2\times \frac{1}{2}+1}=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$ et $u_2=\frac{3u_1}{2u_1+1}=\frac{3\times \frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}+1}=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{5}{2}}=\frac{9}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{9}{10}$. Donc $u_1=\frac{3}{4}$ et $u_2=\frac{9}{10}$.
   2. (a) Initialisation : $u_0=\frac{1}{2}>0$. Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $u_n>0$. Alors $3u_n>0$ et $2u_n+1>0$, donc $u_{n+1}=\frac{3u_n}{2u_n+1}>0$ (quotient de deux nombres strictement positifs). Conclusion : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n>0$. (b) Initialisation : $u_0=\frac{1}{2}<1$. Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $u_n<1$. On a $u_{n+1}-1=\frac{3u_n-(2u_n+1)}{2u_n+1}=\frac{u_n-1}{2u_n+1}$. Or $u_n-1<0$ (hypothèse) et $2u_n+1>0$ (car $u_n>0$), donc $u_{n+1}-1<0$, c'est-à-dire $u_{n+1}<1$. Conclusion : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n<1$.
   3. (a) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n}{2u_n+1}-u_n=\frac{3u_n-u_n(2u_n+1)}{2u_n+1}=\frac{3u_n-2u_n^2-u_n}{2u_n+1}=\frac{2u_n-2u_n^2}{2u_n+1}=\frac{2u_n(1-u_n)}{2u_n+1}$. (b) D'après la question 2., $0<u_n<1$, donc $2u_n>0$, $1-u_n>0$ et $2u_n+1>0$ : $u_{n+1}-u_n>0$ pour tout $n$. La suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante. (c) La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$ (question 2.b) : d'après le théorème de convergence des suites monotones, elle est convergente.
   4. (a) $v_0=\frac{1}{u_0}-1=2-1=1$. (b) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n\ne 0$ et $\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2u_n+1}{3u_n}$, donc $v_{n+1}=\frac{2u_n+1}{3u_n}-1=\frac{2u_n+1-3u_n}{3u_n}=\frac{1-u_n}{3u_n}=\frac{1}{3}(\frac{1}{u_n}-1)=\frac{1}{3}{v}_n$. Donc $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $v_0=1$. (c) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_n=v_0\times (\frac{1}{3}{)}^n=(\frac{1}{3}{)}^n$.
   5. (a) $v_n=\frac{1}{u_n}-1$ donne $\frac{1}{u_n}=v_n+1$, donc $u_n=\frac{1}{v_n+1}$ (on a $v_n+1=\frac{1}{u_n}\ne 0$). (b) En remplaçant $v_n$ par $(\frac{1}{3}{)}^n$ : $u_n=\frac{1}{(\frac{1}{3}{)}^n+1}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (c) Comme $-1<\frac{1}{3}<1$, ${\lim }_{n\to +\infty }(\frac{1}{3}{)}^n=0$, donc ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=\frac{1}{0+1}=1$.

2. Exercice 2Étude de fonctions et calcul intégral11 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Calcul intégral

   Partie I. On considère la fonction numérique $g$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0,+\infty [$ par : $g(x)=x^2+2-2\ln x$.

   1. Montrer que $g^{\prime }(x)=2(\frac{x^2-1}{x})$. (1 pt)
   2. En déduire que $g$ est strictement décroissante sur $]0,1]$ et que $g$ est strictement croissante sur $[1,+\infty [$. (1 pt)
   3. (a) Calculer $g(1)$. (0,25 pt) (b) Dresser le tableau de variations de $g$ (le calcul des limites aux bornes n'est pas demandé). (0,25 pt) (c) En déduire que $g(x)\ge 3$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$. (0,5 pt)

   Partie II. On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0,+\infty [$ par : $f(x)=x+1+\frac{2\ln x}{x}$ et soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. Calculer ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$ et donner une interprétation géométrique du résultat. (1 pt)
   2. (a) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$. (0,5 pt) (b) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-(x+1))$. (0,5 pt) (c) Donner une interprétation géométrique du résultat. (0,25 pt)
   3. (a) Montrer que $f^{\prime }(x)=g(x)/x^2$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$. (1 pt) (b) Déduire que $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$. (0,5 pt) (c) Dresser le tableau de variations de $f$. (0,5 pt)
   4. (a) Montrer que $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}(-3+2\ln x)$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$. (1 pt) (b) En déduire que la courbe $(C_f)$ admet un point d'inflexion d'abscisse $e\sqrt{e}$. (1 pt)
   5. Dans la figure ci-dessous $(C_f)$ est la courbe représentative de $f$ et $(\Delta )$ la droite d'équation $y=x+1$ dans le repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. [Figure : la courbe $(C_f)$, strictement croissante, part de $-\infty$ le long de l'axe des ordonnées, coupe la droite $(\Delta )$ au point de coordonnées $(1,2)$ puis reste au-dessus de $(\Delta )$ ; la droite $(\Delta ):y=x+1$ coupe l'axe des ordonnées en $(0,1)$. La partie hachurée est la partie du plan comprise entre la courbe $(C_f)$ et la droite $(\Delta )$ pour $x$ variant de $1$ à $2$ ; les droites verticales d'équations $x=1$ et $x=2$ sont tracées en pointillés.] (a) Montrer que ${\int }_1^2\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\ln 2{)}^2$. (1 pt) (b) En déduire l'aire de la partie hachurée. (0,75 pt)
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   Partie I.

   1. $g$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et, pour tout $x>0$ : $g^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2x^2-2}{x}=2(\frac{x^2-1}{x})$.
   2. Pour $x>0$, $g^{\prime }(x)$ a le signe de $x^2-1=(x-1)(x+1)$, c'est-à-dire le signe de $x-1$ (car $x+1>0$). Sur $]0,1[$, $g^{\prime }(x)<0$ : $g$ est strictement décroissante sur $]0,1]$. Sur $]1,+\infty [$, $g^{\prime }(x)>0$ : $g$ est strictement croissante sur $[1,+\infty [$.
   3. (a) $g(1)=1+2-2\ln 1=3$. (b) Tableau de variations de $g$ : $g$ est strictement décroissante sur $]0,1]$, atteint son minimum $g(1)=3$ en $x=1$, puis est strictement croissante sur $[1,+\infty [$. (c) D'après le tableau de variations, $g$ admet en $1$ un minimum sur $]0,+\infty [$ qui vaut $3$. Donc pour tout $x$ de $]0,+\infty [$ : $g(x)\ge 3$.

   Partie II.

   1. ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$ et ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{2}{x}=+\infty$, donc par produit ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{2\ln x}{x}=-\infty$ ; comme ${\lim }_{x\to 0^{+}}(x+1)=1$, on obtient ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$. Interprétation : la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $(C_f)$.
   2. (a) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x}=0$ (limite usuelle), donc ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2\ln x}{x}=0$ ; et ${\lim }_{x\to +\infty }(x+1)=+\infty$. Par somme, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. (b) $f(x)-(x+1)=\frac{2\ln x}{x}$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-(x+1))=0$. (c) La droite $(\Delta )$ d'équation $y=x+1$ est une asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
   3. (a) $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$. Pour tout $x>0$, avec $u(x)=2\ln x$ et $v(x)=x$ : $(\frac{2\ln x}{x}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{\frac{2}{x}\times x-2\ln x}{x^2}=\frac{2-2\ln x}{x^2}$. Donc $f^{\prime }(x)=1+\frac{2-2\ln x}{x^2}=\frac{x^2+2-2\ln x}{x^2}=g(x)/x^2$. (b) Pour tout $x>0$, $g(x)\ge 3>0$ (partie I) et $x^2>0$, donc $f^{\prime }(x)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$. (c) Tableau de variations de $f$ : $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$, avec ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ (la flèche monte de $-\infty$ à $+\infty$).
   4. (a) $f^{\prime }(x)=1+\frac{2-2\ln x}{x^2}$. La fonction $f^{\prime }$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et, avec $u(x)=2-2\ln x$ et $v(x)=x^2$ : $f^{\prime \prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{-\frac{2}{x}\times x^2-(2-2\ln x)\times 2x}{x^4}=\frac{-2x-4x+4x\ln x}{x^4}=\frac{x(-6+4\ln x)}{x^4}=\frac{-6+4\ln x}{x^3}$. Donc $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(-3+2\ln x)}{x^3}=\frac{2}{x^3}(-3+2\ln x)$. (b) Pour $x>0$, $\frac{2}{x^3}>0$ donc $f^{\prime \prime }(x)$ a le signe de $-3+2\ln x$. Or $-3+2\ln x=0<\Rightarrow \ln x=\frac{3}{2}<\Rightarrow x=e^{\frac{3}{2}}=e\sqrt{e}$, et comme $\ln$ est strictement croissante : $f^{\prime \prime }(x)<0$ sur $]0,e\sqrt{e}[$ et $f^{\prime \prime }(x)>0$ sur $]e\sqrt{e},+\infty [$. $f^{\prime \prime }$ s'annule en $e\sqrt{e}$ en changeant de signe, donc la courbe $(C_f)$ admet un point d'inflexion d'abscisse $e\sqrt{e}$ (concave avant, convexe après).
   5. (a) La fonction $x\to \frac{\ln x}{x}$ est de la forme $u^{\prime }u$ avec $u=\ln x$ ; une primitive sur $]0,+\infty [$ est $x\to \frac{1}{2}(\ln x{)}^2$. Donc ${\int }_1^2\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=[\frac{1}{2}(\ln x{)}^2{]}_1^2=\frac{1}{2}(\ln 2{)}^2-\frac{1}{2}(\ln 1{)}^2=\frac{1}{2}(\ln 2{)}^2$. (b) La partie hachurée est délimitée par $(C_f)$, $(\Delta )$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$. Sur $[1,2]$, $f(x)-(x+1)=\frac{2\ln x}{x}\ge 0$ (car $\ln x\ge 0$ pour $x\ge 1$), donc $(C_f)$ est au-dessus de $(\Delta )$ et l'aire cherchée est $\mathcal{A}={\int }_1^2(f(x)-(x+1))\mathrm{d}x={\int }_1^2\frac{2\ln x}{x}\mathrm{d}x=2{\int }_1^2\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=2\times \frac{1}{2}(\ln 2{)}^2=(\ln 2{)}^2$. Donc l'aire de la partie hachurée est $(\ln 2{)}^2$ unité d'aire ($\approx 0,48$ u.a.).

3. Exercice 3Calcul des probabilités4.5 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   (On donnera les résultats sous forme de fraction.)

   Une urne contient six jetons rouges portant les numéros : 1, 2, 2, 2, 3, 3 et quatre jetons verts portant les numéros : 2, 2, 2, 3 (tous les jetons sont indiscernables au toucher). On tire simultanément au hasard trois jetons de l'urne. On considère les événements suivants : $A$ : « Les jetons tirés portent le même numéro » ; $B$ : « Les jetons tirés sont de même couleur ».

   1. Montrer que le nombre de tirages possibles est égal à $120$. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer que $p(A)=\frac{7}{40}$. (0,75 pt) (b) Calculer $p(B)$. (0,75 pt) (c) Calculer la probabilité de tirer trois jetons de même couleur sachant qu'ils portent le même numéro. (1 pt) (d) Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. (0,5 pt)
   3. Soit $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre de couleurs obtenues à chaque tirage. Calculer $p(X=1)$ et $p(X=2)$. (1 pt)
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   1. L'urne contient $6+4=10$ jetons. On tire simultanément trois jetons : un tirage est une combinaison de $3$ jetons parmi $10$, et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$. Le nombre de tirages possibles est bien $120$, tous équiprobables.
   2. (a) Répartition des numéros : le numéro $1$ est porté par $1$ jeton, le numéro $2$ par $3+3=6$ jetons, le numéro $3$ par $2+1=3$ jetons. $A$ est réalisé si les trois jetons portent le numéro $2$ ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ tirages) ou le numéro $3$ ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)=1$ tirage) ; trois jetons numéro $1$ est impossible. Donc $p(A)=\frac{20+1}{120}=\frac{21}{120}=\frac{7}{40}$. (b) $B$ est réalisé si les trois jetons sont rouges ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ tirages) ou verts ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ tirages). Donc $p(B)=\frac{20+4}{120}=\frac{24}{120}=\frac{1}{5}$. (c) On cherche $p_A(B)=p(A\cap B)/p(A)$. L'événement $A\cap B$ : « même numéro et même couleur » est réalisé par trois jetons rouges numéro $2$ ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)=1$ tirage) ou trois jetons verts numéro $2$ ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)=1$ tirage) ; il n'y a que $2$ jetons rouges numéro $3$ et un seul vert numéro $3$, donc pas d'autre cas. Ainsi $p(A\cap B)=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}$ et $p_A(B)=\frac{\frac{1}{60}}{\frac{7}{40}}=\frac{1}{60}\times \frac{40}{7}=\frac{40}{420}=\frac{2}{21}$. (d) $p(A)\times p(B)=\frac{7}{40}\times \frac{1}{5}=\frac{7}{200}$ et $p(A\cap B)=\frac{1}{60}$. Comme $\frac{7}{200}=\frac{21}{600}$ et $\frac{1}{60}=\frac{10}{600}$, on a $p(A\cap B)\ne p(A)\times p(B)$ : les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants. (On peut aussi remarquer que $p_A(B)=\frac{2}{21}\ne p(B)=\frac{1}{5}$.)
   3. Les trois jetons tirés sont soit d'une seule couleur, soit de deux couleurs : $X$ prend les valeurs $1$ et $2$. $(X=1)$ est l'événement $B$, donc $p(X=1)=p(B)=\frac{1}{5}$. $(X=2)$ est l'événement contraire, donc $p(X=2)=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$.