Suites numériques, étude d'une fonction logarithme et calcul de probabilités

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques4.5 pts

   Chapitre : Suites numériques (convergence + finance)

   Soit $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $u_0=3$ et $u_{n+1}=\frac{1}{5}{u}_n+\frac{8}{5}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (0,5 pt)
   2. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n>2$. (1 pt)
   3. (a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{4}{5}(2-u_n)$. (0,5 pt) (b) En déduire que $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite décroissante. (0,25 pt)
   4. Déduire de ce qui précède que la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente. (0,25 pt)
   5. On pose pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_n=u_n-2$. (a) Calculer $v_0$. (0,25 pt) (b) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{5}$. (0,5 pt) (c) Donner $v_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt)
   6. (a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n=(\frac{1}{5}{)}^n+2$. (0,5 pt) (b) Calculer ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n$. (0,25 pt)
   Voir la correction

   1. $u_1=\frac{1}{5}{u}_0+\frac{8}{5}=\frac{3}{5}+\frac{8}{5}=\frac{11}{5}$ et $u_2=\frac{1}{5}{u}_1+\frac{8}{5}=\frac{1}{5}\times \frac{11}{5}+\frac{8}{5}=\frac{11}{25}+\frac{40}{25}=\frac{51}{25}$. Donc $u_1=\frac{11}{5}=2,2$ et $u_2=\frac{51}{25}=2,04$.
   2. Initialisation : $u_0=3>2$, la propriété est vraie pour $n=0$. Hérédité : soit $n\in \mathbb{N}$ ; supposons que $u_n>2$. Alors $\frac{1}{5}{u}_n>\frac{2}{5}$, donc $u_{n+1}=\frac{1}{5}{u}_n+\frac{8}{5}>\frac{2}{5}+\frac{8}{5}=\frac{10}{5}=2$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$. Conclusion : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n>2$.
   3. (a) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{5}{u}_n+\frac{8}{5}-u_n=\frac{8}{5}-\frac{4}{5}{u}_n=\frac{4}{5}(2-u_n)$. (b) D'après la question 2., $u_n>2$, donc $2-u_n<0$ et $u_{n+1}-u_n=\frac{4}{5}(2-u_n)<0$. Donc $u_{n+1}<u_n$ pour tout $n$ : la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est décroissante.
   4. La suite $(u_n)$ est décroissante (question 3.b) et minorée par $2$ (question 2). D'après le théorème de convergence des suites monotones, $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est convergente.
   5. (a) $v_0=u_0-2=3-2=1$. (b) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_{n+1}=u_{n+1}-2=\frac{1}{5}{u}_n+\frac{8}{5}-2=\frac{1}{5}{u}_n-\frac{2}{5}=\frac{1}{5}(u_n-2)=\frac{1}{5}{v}_n$. Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{1}{5}$ et de premier terme $v_0=1$. (c) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $v_n=v_0\times q^n=1\times (\frac{1}{5}{)}^n$, soit $v_n=(\frac{1}{5}{)}^n$.
   6. (a) Comme $v_n=u_n-2$, on a $u_n=v_n+2$, d'où, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n=(\frac{1}{5}{)}^n+2$. (b) Puisque $-1<\frac{1}{5}<1$, on a ${\lim }_{n\to +\infty }(\frac{1}{5}{)}^n=0$, donc ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=0+2=2$.

2. Exercice 2Étude de fonctions et calcul intégral11 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Calcul intégral

   Partie I. On considère la fonction numérique $h$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0,+\infty [$ par : $h(x)=x^2-\ln x$.

   1. Montrer que $h^{\prime }(x)=\frac{2x^2-1}{x}$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$. (0,5 pt)
   2. Étudier le signe de $h^{\prime }(x)$ sur $]0,+\infty [$. (0,5 pt)
   3. Vérifier que $h(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1+\ln 2}{2}$ et dresser le tableau de variations de $h$ (le calcul des limites aux bornes n'est pas demandé). (1 pt)
   4. En déduire que : $h(x)>0$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$. (0,5 pt)

   Partie II. On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0,+\infty [$ par : $f(x)=\frac{1+\ln x}{x}+x$ et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. (a) Calculer ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$. (0,5 pt) (b) Donner une interprétation géométrique du résultat. (0,25 pt)
   2. (a) Montrer que ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. (0,5 pt) (b) Montrer que ${\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-x)=0$. (0,5 pt) (c) Déduire de ce qui précède une interprétation géométrique du résultat. (0,25 pt)
   3. (a) Montrer que $f^{\prime }(x)=h(x)/x^2$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$. (1 pt) (b) Déduire de la question 4. de la partie I que $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$. (1 pt)
   4. Soit $(\Delta )$ la droite d'équation $y=x$. (a) Calculer $f(\frac{1}{e})$. (0,5 pt) (b) Étudier le signe de $f(x)-x$. (1 pt) (c) En déduire la position relative de $(C)$ par rapport à $(\Delta )$ sur chacun des intervalles $]0,\frac{1}{e}]$ et $[\frac{1}{e},+\infty [$. (0,5 pt)
   5. Dans la figure ci-dessous $(C)$ est la courbe représentative de $f$ et $(\Delta )$ la droite d'équation $y=x$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. [Figure : la courbe $(C)$, strictement croissante, part de $-\infty$ le long de l'axe des ordonnées, coupe la droite $(\Delta )$ au point d'abscisse $\frac{1}{e}$ et passe par le point de coordonnées $(1,2)$ ; la droite $(\Delta ):y=x$ passe par l'origine. La partie hachurée est la partie du plan comprise entre la courbe $(C)$ et la droite $(\Delta )$ pour $x$ variant de $\frac{1}{e}$ à $1$ ; la droite verticale d'équation $x=1$ est tracée en pointillés.] (a) Calculer ${\int }_{\frac{1}{e}}^1\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ et calculer ${\int }_{\frac{1}{e}}^1\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x$. (1,5 pt) (b) En déduire l'aire de la partie hachurée. (1 pt)
   Voir la correction

   Partie I.

   1. $h$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ (somme de fonctions dérivables) et, pour tout $x>0$ : $h^{\prime }(x)=2x-\frac{1}{x}=\frac{2x^2-1}{x}$.
   2. Sur $]0,+\infty [$, $x>0$ donc $h^{\prime }(x)$ a le signe de $2x^2-1$. Or $2x^2-1=0<\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}<\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (car $x>0$), et $2x^2-1=2(x-\frac{1}{\sqrt{2}})(x+\frac{1}{\sqrt{2}})$. Donc $h^{\prime }(x)<0$ sur $]0,\frac{1}{\sqrt{2}}[$, $h^{\prime }(\frac{1}{\sqrt{2}})=0$ et $h^{\prime }(x)>0$ sur $]\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty [$.
   3. $h(\frac{1}{\sqrt{2}})=(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2-\ln (\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{2}-\ln (2^{-\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln 2=\frac{1+\ln 2}{2}$. Tableau de variations de $h$ : d'après la question 2., $h$ est strictement décroissante sur $]0,\frac{1}{\sqrt{2}}]$ et strictement croissante sur $[\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty [$ ; elle admet en $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ un minimum égal à $\frac{1+\ln 2}{2}$.
   4. D'après le tableau de variations, pour tout $x$ de $]0,+\infty [$ : $h(x)\ge h(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1+\ln 2}{2}$. Or $\ln 2>0$, donc $\frac{1+\ln 2}{2}>0$. Ainsi $h(x)>0$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$.

   Partie II.

   1. (a) On a ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$, donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}(1+\ln x)=-\infty$, et ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$. Par produit, ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1+\ln x}{x}=-\infty$ ; comme ${\lim }_{x\to 0^{+}}x=0$, on obtient ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$. (b) La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe $(C)$.
   2. (a) $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}+x$. Or ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0$, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x}=0$ (limite usuelle) et ${\lim }_{x\to +\infty }x=+\infty$. Par somme, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. (b) $f(x)-x=\frac{1+\ln x}{x}=\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-x)=0+0=0$. (c) La droite $(\Delta )$ d'équation $y=x$ est une asymptote oblique à la courbe $(C)$ au voisinage de $+\infty$.
   3. (a) $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ comme somme d'un quotient de fonctions dérivables (dénominateur non nul) et d'une fonction dérivable. Pour tout $x>0$, avec $u(x)=1+\ln x$ et $v(x)=x$ : $(\frac{1+\ln x}{x}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{\frac{1}{x}\times x-(1+\ln x)\times 1}{x^2}=\frac{1-1-\ln x}{x^2}=\frac{-\ln x}{x^2}$. Donc $f^{\prime }(x)=\frac{-\ln x}{x^2}+1=\frac{x^2-\ln x}{x^2}=h(x)/x^2$. (b) Pour tout $x>0$, $x^2>0$ et $h(x)>0$ (partie I, question 4.), donc $f^{\prime }(x)=h(x)/x^2>0$. Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$.
   4. (a) $\ln (\frac{1}{e})=-1$, donc $f(\frac{1}{e})=\frac{1+\ln (\frac{1}{e})}{\frac{1}{e}}+\frac{1}{e}=(1-1)\times e+\frac{1}{e}=\frac{1}{e}$. (b) Pour tout $x>0$ : $f(x)-x=\frac{1+\ln x}{x}$. Comme $x>0$, ce quotient a le signe de $1+\ln x$. Or $1+\ln x>0<\Rightarrow \ln x>-1<\Rightarrow x>e^{-1}=\frac{1}{e}$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante). Donc $f(x)-x<0$ sur $]0,\frac{1}{e}[$, $f(\frac{1}{e})-\frac{1}{e}=0$ et $f(x)-x>0$ sur $]\frac{1}{e},+\infty [$. (c) Sur $]0,\frac{1}{e}]$, $f(x)-x\le 0$ : la courbe $(C)$ est au-dessous de la droite $(\Delta )$. Sur $[\frac{1}{e},+\infty [$, $f(x)-x\ge 0$ : la courbe $(C)$ est au-dessus de $(\Delta )$. Les deux se coupent au point d'abscisse $\frac{1}{e}$ (de coordonnées $(\frac{1}{e},\frac{1}{e})$).
   5. (a) Une primitive de $x\to \frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty [$ est $x\to \ln x$ : ${\int }_{\frac{1}{e}}^1\frac{1}{x}\mathrm{d}x=[\ln x{]}_{\frac{1}{e}}^1=\ln 1-\ln (\frac{1}{e})=0-(-1)=1$. La fonction $x\to \frac{\ln x}{x}$ est de la forme $u^{\prime }u$ avec $u=\ln x$, donc une primitive est $x\to \frac{1}{2}(\ln x{)}^2$ : ${\int }_{\frac{1}{e}}^1\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=[\frac{1}{2}(\ln x{)}^2{]}_{\frac{1}{e}}^1=\frac{1}{2}(\ln 1{)}^2-\frac{1}{2}(\ln (\frac{1}{e}){)}^2=0-\frac{1}{2}\times (-1{)}^2=-\frac{1}{2}$. (b) La partie hachurée est délimitée par $(C)$, $(\Delta )$ et les droites d'équations $x=\frac{1}{e}$ et $x=1$. Sur $[\frac{1}{e},1]$, $(C)$ est au-dessus de $(\Delta )$ (question 4.c), donc l'aire cherchée est $\mathcal{A}={\int }_{\frac{1}{e}}^1(f(x)-x)\mathrm{d}x={\int }_{\frac{1}{e}}^1\frac{1+\ln x}{x}\mathrm{d}x={\int }_{\frac{1}{e}}^1\frac{1}{x}\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{1}{e}}^1\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$. Donc l'aire de la partie hachurée est $\frac{1}{2}$ unité d'aire (soit $0,5$ cm${}^2$ si l'unité est le centimètre).

3. Exercice 3Calcul des probabilités4.5 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   (On donnera les résultats sous forme de fraction.)

   Un sac contient cinq boules blanches numérotées 1 - 2 - 3 - 3 - 3 et quatre boules noires numérotées 1 - 2 - 3 - 3 (toutes les boules sont indiscernables au toucher). On tire simultanément au hasard deux boules du sac. On considère les événements suivants : $A$ : « Les deux boules tirées sont de même couleur » ; $B$ : « L'une exactement des deux boules tirées porte le numéro 3 ».

   1. (a) Montrer que $p(A)=\frac{4}{9}$. (1 pt) (b) Calculer $p(B)$. (0,5 pt) (c) Calculer $p(A\cap B)$. (1 pt) (d) Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. (0,5 pt)
   2. Soit $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules blanches tirées et qui portent le numéro 3. (a) Copier et remplir le tableau ci-contre en justifiant les réponses. (1 pt)

   $x_i$	$0$	$1$	$2$
   $p(X=x_i)$	$\frac{15}{36}$

   (b) Calculer $E(X)$, l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. (0,5 pt)

   Voir la correction

   Le sac contient $5+4=9$ boules et l'on tire simultanément deux boules : les tirages sont les combinaisons de $2$ boules parmi $9$, équiprobables. Le nombre de cas possibles est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=\frac{9\times 8}{2}=36$.

   1. (a) $A$ est réalisé si les deux boules sont blanches ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ tirages) ou si les deux boules sont noires ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ tirages). Donc $p(A)=\frac{10+6}{36}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$. (b) Le sac contient $3+2=5$ boules portant le numéro $3$ et $9-5=4$ boules ne le portant pas. $B$ est réalisé quand on tire une boule numérotée $3$ et une boule non numérotée $3$ : $5\times 4=20$ tirages. Donc $p(B)=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$. (c) $A\cap B$ : « les deux boules sont de même couleur et une seule porte le numéro 3 ». Deux blanches dont une seule numérotée $3$ : $3\times 2=6$ tirages (une parmi les $3$ blanches « 3 », une parmi les $2$ blanches « 1 » ou « 2 »). Deux noires dont une seule numérotée $3$ : $2\times 2=4$ tirages. Donc $p(A\cap B)=\frac{6+4}{36}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$. (d) $p(A)\times p(B)=\frac{4}{9}\times \frac{5}{9}=\frac{20}{81}$, alors que $p(A\cap B)=\frac{5}{18}=\frac{45}{162}$ et $\frac{20}{81}=\frac{40}{162}$. Donc $p(A\cap B)\ne p(A)\times p(B)$ : les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
   2. (a) Le sac contient $3$ boules blanches numérotées $3$ et $6$ autres boules. $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$. $p(X=0)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)}{36}=\frac{15}{36}$ (aucune boule blanche « 3 ») ; $p(X=1)=\frac{3\times 6}{36}=\frac{18}{36}$ (une boule blanche « 3 » et une des $6$ autres) ; $p(X=2)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}{36}=\frac{3}{36}$ (deux boules blanches « 3 »). Vérification : $\frac{15}{36}+\frac{18}{36}+\frac{3}{36}=\frac{36}{36}=1$. Le tableau complété est donc : $x_i$ : $0$, $1$, $2$ ; $p(X=x_i)$ : $\frac{15}{36}$, $\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$, $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$. (b) $E(X)=0\times \frac{15}{36}+1\times \frac{18}{36}+2\times \frac{3}{36}=\frac{18+6}{36}=\frac{24}{36}=\frac{2}{3}$.