Limites et continuité, dérivation et suites numériques

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Limites et continuité5 pts

   Chapitre : Limites et continuité

   1. Calculer les limites suivantes : (a) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x^2-3x+1}{x^2+4}$ ; (0,5 pt) (b) ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}$ ; (0,5 pt) (c) ${\lim }_{x\to +\infty }(\sqrt{x^2+4x}-x)$ ; (0,5 pt) (d) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x+\cos x}{x+1}$ (on pourra utiliser le théorème des gendarmes). (0,5 pt)
   2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ si $x\ne 2$ et $f(2)=m$, où $m$ est un réel. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $f$ est continue en $2$. (1 pt)
   3. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3+x-3$. (a) Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[1,2]$. (1,25 pt) (b) Vérifier que $1,2<\alpha <1,3$. (0,75 pt)
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   1. (a) En $+\infty$, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré : ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x^2-3x+1}{x^2+4}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x^2}{x^2}=2$. (b) En $x=1$, le numérateur et le dénominateur s'annulent (forme indéterminée $\frac{0}{0}$). On factorise : $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ et $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Pour $x\ne 1$ : $\frac{x^2+x-2}{x^2-1}=\frac{x+2}{x+1}$, donc ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}=\frac{3}{2}$. (c) Forme indéterminée $+\infty -\infty$. On multiplie par l'expression conjuguée : pour $x>0$, $\sqrt{x^2+4x}-x=\frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}$ (on a divisé numérateur et dénominateur par $x=\sqrt{x^2}$). Comme $\frac{4}{x}\to 0$, le dénominateur tend vers $2$ : ${\lim }_{x\to +\infty }(\sqrt{x^2+4x}-x)=2$. (d) Pour tout $x>0$, $-1\le \cos x\le 1$ donc $\frac{3x-1}{x+1}\le \frac{3x+\cos x}{x+1}\le \frac{3x+1}{x+1}$. Or ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x-1}{x+1}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x+1}{x+1}=3$. D'après le théorème des gendarmes, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x+\cos x}{x+1}=3$.
   2. Pour $x\ne 2$ : $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, donc ${\lim }_{x\to 2}f(x)=4$. La fonction $f$ est continue en $2$ si et seulement si ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)$, c'est-à-dire $m=4$.
   3. (a) $g$ est une fonction polynôme, donc continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, et $g^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ pour tout réel $x$ : $g$ est strictement croissante sur $[1,2]$. De plus $g(1)=1+1-3=-1<0$ et $g(2)=8+2-3=7>0$, donc $g(1)\times g(2)<0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires ($g$ continue sur $[1,2]$ et $0$ compris entre $g(1)$ et $g(2)$), l'équation $g(x)=0$ admet au moins une solution dans $]1,2[$ ; comme $g$ est strictement croissante, cette solution $\alpha$ est unique. (b) $g(1,2)=1,728+1,2-3=-0,072<0$ et $g(1,3)=2,197+1,3-3=0,497>0$. Le même raisonnement sur $[1,2,1,3]$ montre que $\alpha \in ]1,2,1,3[$, donc $1,2<\alpha <1,3$.

2. Exercice 2Suites numériques5 pts

   Chapitre : Suites numériques (convergence + finance)

   Un opérateur de téléphonie compte $1000$ abonnés en 2025. Chaque année, il perd $20\%$ de ses abonnés mais en gagne $600$ nouveaux. On note $u_n$ le nombre d'abonnés de l'année $2025+n$ ; ainsi $u_0=1000$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=0,8u_n+600.$

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (0,5 pt)
   2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n<3000$. (1 pt)
   3. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=0,2(3000-u_n)$, puis en déduire que la suite $(u_n)$ est croissante. (1 pt)
   4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. (0,5 pt)
   5. On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n=u_n-3000$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,75 pt)
   6. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$, et calculer ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n$. Interpréter ce résultat. (0,75 pt)
   7. On donne $0,8^{13}\approx 0,055$ et $0,8^{14}\approx 0,044$. À partir de quelle année le nombre d'abonnés dépassera-t-il $2900$ ? Justifier. (0,5 pt)
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   1. $u_1=0,8\times 1000+600=1400$ et $u_2=0,8\times 1400+600=1120+600=1720$.
   2. Initialisation : $u_0=1000<3000$, la propriété est vraie au rang $0$. Hérédité : supposons que $u_n<3000$ pour un certain entier $n$. Alors $u_{n+1}=0,8u_n+600<0,8\times 3000+600=2400+600=3000$ (on a multiplié par $0,8>0$ puis ajouté $600$). La propriété est donc héréditaire. Conclusion : par récurrence, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n<3000$.
   3. Pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=0,8u_n+600-u_n=600-0,2u_n=0,2(3000-u_n)$. D'après la question 2, $3000-u_n>0$, donc $u_{n+1}-u_n>0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
   4. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3000$ ; d'après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.
   5. Pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $v_{n+1}=u_{n+1}-3000=0,8u_n+600-3000=0,8u_n-2400=0,8(u_n-3000)=0,8v_n$. Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-3000=-2000$.
   6. $v_n=v_0\times q^n=-2000\times 0,8^n$, d'où $u_n=v_n+3000=3000-2000\times 0,8^n$. Comme $-1<0,8<1$, ${\lim }_{n\to +\infty }0,8^n=0$ et donc ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=3000$. Interprétation : à long terme, le nombre d'abonnés de l'opérateur se stabilise autour de $3000$ (sans jamais l'atteindre).
   7. $u_{13}=3000-2000\times 0,8^{13}\approx 3000-2000\times 0,055=2890<2900$ et $u_{14}\approx 3000-2000\times 0,044=2912>2900$. Comme la suite $(u_n)$ est croissante, $u_n>2900$ pour tout $n\ge 14$ et $u_n\le u_{13}<2900$ pour $n\le 13$. Le nombre d'abonnés dépassera $2900$ à partir de l'année $2025+14=2039$.

3. Exercice 3Étude d'une fonction rationnelle et coût moyen10 pts

   Chapitres : Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité

   Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1 cm).

   Partie A.

   1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$, puis calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)$ et ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$. Interpréter graphiquement les deux dernières limites. (1,5 pt)
   2. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}$. (0,5 pt)
   3. En déduire que la droite $(D)$ d'équation $y=x+1$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $-\infty$ et en $+\infty$, puis étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de $(D)$. (1 pt)
   4. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1{)}^2}$. (1 pt)
   5. Dresser le tableau de variations de $f$. (1,5 pt)
   6. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $2$. (0,75 pt)
   7. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ et étudier la concavité de $(\mathcal{C})$. La courbe admet-elle un point d'inflexion ? (0,75 pt)
   8. Tracer $(D)$, $(T)$ et $(\mathcal{C})$. (1 pt)

   Partie B. Une entreprise fabrique chaque jour une quantité $x$ (en tonnes, avec $x>1$) d'un produit chimique. Le coût moyen de fabrication d'une tonne, exprimé en milliers de dirhams, est $C_M(x)=f(x)$.

   1. Pour quelle quantité produite le coût moyen est-il minimal ? Quel est ce coût moyen minimal ? (1 pt)
   2. Une tonne de ce produit se vend $7000$ DH. Déterminer l'ensemble des quantités $x$ pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice, c'est-à-dire pour lesquelles le coût moyen est strictement inférieur au prix de vente. (1 pt)
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   Partie A.

   1. $f(x)$ existe si et seulement si $x-1\ne 0$, donc $D_f=\mathbb{R}\setminus 1=]-\infty ,1[\cup ]1,+\infty [$. En $\pm \infty$, $f(x)$ a la même limite que $\frac{x^2}{x}=x$ : ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. En $1$ : ${\lim }_{x\to 1}(x^2+3)=4>0$ ; ${\lim }_{x\to 1^{-}}(x-1)=0^{-}$ et ${\lim }_{x\to 1^{+}}(x-1)=0^{+}$. Donc ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$. Interprétation : la droite d'équation $x=1$ est une asymptote verticale à $(\mathcal{C})$.
   2. Pour tout $x\ne 1$ : $x+1+\frac{4}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+4}{x-1}=\frac{x^2-1+4}{x-1}=\frac{x^2+3}{x-1}=f(x)$.
   3. $f(x)-(x+1)=\frac{4}{x-1}$ et ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$, donc la droite $(D):y=x+1$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $-\infty$ et en $+\infty$. Position relative : $f(x)-(x+1)=\frac{4}{x-1}$ a le signe de $x-1$. Sur $]1,+\infty [$, $f(x)-(x+1)>0$ : $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(D)$ ; sur $]-\infty ,1[$, $f(x)-(x+1)<0$ : $(\mathcal{C})$ est en dessous de $(D)$.
   4. $f$ est dérivable sur $D_f$ comme fonction rationnelle. En utilisant l'écriture de la question 2 : $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1-2)(x-1+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$.
   5. Le dénominateur $(x-1{)}^2$ est strictement positif sur $D_f$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $(x+1)(x-3)$ : positif sur $]-\infty ,-1]$ et sur $[3,+\infty [$, négatif sur $[-1,1[$ et sur $]1,3]$. On calcule $f(-1)=\frac{4}{-2}=-2$ et $f(3)=\frac{12}{2}=6$. Tableau de variations : $f$ est croissante sur $]-\infty ,-1]$ (de $-\infty$ à $-2$), décroissante sur $[-1,1[$ (de $-2$ à $-\infty$), décroissante sur $]1,3]$ (de $+\infty$ à $6$) et croissante sur $[3,+\infty [$ (de $6$ à $+\infty$). $f$ admet un maximum local $-2$ en $x=-1$ et un minimum local $6$ en $x=3$.
   6. $f(2)=\frac{7}{1}=7$ et $f^{\prime }(2)=\frac{(2-3)(2+1)}{(2-1{)}^2}=-3$. $(T):y=f^{\prime }(2)(x-2)+f(2)=-3(x-2)+7$, soit $(T):y=-3x+13$.
   7. $f^{\prime }(x)=1-4(x-1{)}^{-2}$, donc $f^{\prime \prime }(x)=8(x-1{)}^{-3}=\frac{8}{(x-1{)}^3}$. $f^{\prime \prime }(x)$ a le signe de $x-1$ : $f^{\prime \prime }(x)<0$ sur $]-\infty ,1[$ et $f^{\prime \prime }(x)>0$ sur $]1,+\infty [$. La courbe $(\mathcal{C})$ est donc concave sur $]-\infty ,1[$ et convexe sur $]1,+\infty [$. Elle n'admet pas de point d'inflexion : $f^{\prime \prime }$ change de signe en $1$, mais $1\notin D_f$ (il n'y a pas de point de $(\mathcal{C})$ d'abscisse $1$).
   8. Tracé : on place l'asymptote verticale $x=1$, l'asymptote oblique $(D):y=x+1$, la tangente $(T):y=-3x+13$, les points $(-1,-2)$ (maximum local, tangente horizontale), $(3,6)$ (minimum local, tangente horizontale), $(2,7)$, ainsi que $(-3,-3)$, $(0,-3)$, $(4,\frac{19}{3})$ et $(5,7)$. La branche de gauche est en dessous de $(D)$ et concave ; la branche de droite est au-dessus de $(D)$ et convexe.

   Partie B.

   1. Sur $]1,+\infty [$, d'après le tableau de variations, $f$ admet un minimum en $x=3$, égal à $f(3)=6$. Le coût moyen est donc minimal pour une production de $3$ tonnes par jour ; il vaut alors $6$ milliers de dirhams, soit $6000$ DH par tonne.
   2. Le prix de vente d'une tonne est $7$ milliers de dirhams. L'entreprise réalise un bénéfice lorsque $f(x)<7$ avec $x>1$. Comme $x-1>0$ : $f(x)<7\iff x^2+3<7(x-1)\iff x^2-7x+10<0\iff (x-2)(x-5)<0$ (le trinôme $x^2-7x+10$ a pour discriminant $49-40=9$ et pour racines $2$ et $5$). Un trinôme est du signe contraire de son coefficient dominant entre ses racines, donc $f(x)<7\iff 2<x<5$. L'entreprise réalise un bénéfice lorsqu'elle produit entre $2$ et $5$ tonnes par jour (bornes exclues) : $x\in ]2,5[$.