Limites et dérivation

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Limites d'une fonction6 pts

   Chapitre : Les limites d'une fonction numérique

   Calculer les limites suivantes.

   1. ${\lim }_{x\to -\infty }(-3x^3+x^2-1)$. (1 pt)
   2. ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x^2-x+2}{x^2+4}$. (1 pt)
   3. ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}$. (1 pt)
   4. ${\lim }_{x\to +\infty }(\sqrt{x^2+4x}-x)$. (1 pt)
   5. ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{2x-5}{1-x}$ et ${\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{2x-5}{1-x}$ ; interpréter graphiquement le résultat. (1 pt)
   6. ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x+\cos x}{x+1}$. (1 pt)
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   1. En $-\infty$, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré : $-3x^3+x^2-1=x^3(-3+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3})$ avec ${\lim }_{x\to -\infty }{x}^3=-\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }(-3+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3})=-3$. Par produit : ${\lim }_{x\to -\infty }(-3x^3+x^2-1)=+\infty$.
   2. Forme indéterminée $\frac{\infty }{\infty }$. On factorise par le terme dominant : $\frac{3x^2-x+2}{x^2+4}=\frac{x^2(3-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2})}{x^2(1+\frac{4}{x^2})}=\frac{3-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{4}{x^2}}$. Comme $\frac{1}{x}\to 0$, $\frac{2}{x^2}\to 0$ et $\frac{4}{x^2}\to 0$ : ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x^2-x+2}{x^2+4}=\frac{3}{1}=3$.
   3. En $x=2$, numérateur et dénominateur s'annulent : forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On factorise par $(x-2)$ : $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ (racines $2$ et $3$) et $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Pour $x\ne 2$ : $\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}=\frac{x-3}{x+2}$, donc ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}=\frac{2-3}{2+2}=-\frac{1}{4}$.
   4. Forme indéterminée $\infty -\infty$. On multiplie par la quantité conjuguée : $\sqrt{x^2+4x}-x=\frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}$. Pour $x>0$, $\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}}$, donc $\sqrt{x^2+4x}-x=\frac{4x}{x(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1)}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}$. Comme $\frac{4}{x}\to 0$ : ${\lim }_{x\to +\infty }(\sqrt{x^2+4x}-x)=\frac{4}{1+1}=2$.
   5. Quand $x\to 1$, le numérateur $2x-5$ tend vers $-3<0$ et le dénominateur $1-x$ tend vers $0$ : la limite est infinie et son signe dépend du côté.

   • Si $x\to 1^{+}$ : $x>1$ donc $1-x<0$, $1-x\to 0^{-}$ et ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{2x-5}{1-x}=+\infty$ (quotient de $-3$ par un nombre négatif tendant vers $0$).
   • Si $x\to 1^{-}$ : $1-x\to 0^{+}$ et ${\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{2x-5}{1-x}=-\infty$. Interprétation : la droite d'équation $x=1$ est une asymptote verticale à la courbe de $x\to \frac{2x-5}{1-x}$.

   1. On écrit $\frac{2x+\cos x}{x+1}=\frac{2x}{x+1}+\frac{\cos x}{x+1}$. D'une part $\frac{2x}{x+1}=\frac{2}{1+\frac{1}{x}}\to 2$. D'autre part, pour $x>0$ : $-1\le \cos x\le 1$ donne $-\frac{1}{x+1}\le \frac{\cos x}{x+1}\le \frac{1}{x+1}$, et ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x+1}=0$ ; par encadrement (théorème des gendarmes), ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\cos x}{x+1}=0$. Par somme : ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x+\cos x}{x+1}=2$.

2. Exercice 2Dérivation6 pts

   Chapitre : La dérivation d'une fonction numérique

   1. Soit $f$ la fonction définie sur $[-\frac{1}{2},+\infty [$ par $f(x)=\sqrt{2x+1}$. (a) En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer que $f$ est dérivable en $4$ et que $f^{\prime }(4)=\frac{1}{3}$. (1,5 pt) (b) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $4$. (0,5 pt)
   2. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. (a) $g(x)=\frac{x^2+1}{x-2}$ sur $]2,+\infty [$. (1 pt) (b) $h(x)=\cos (2x)+x\sin x$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt) (c) $k(x)=\sqrt{x^2+3}$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt)
   3. Soit $\phi$ la fonction définie sur $[0,+\infty [$ par $\phi (x)=1+\frac{x}{2}-\sqrt{1+x}$. Calculer ${\phi }^{\prime }(x)$ pour $x>0$, étudier le sens de variation de $\phi$ sur $[0,+\infty [$ et en déduire que pour tout réel $x\ge 0$ : $\sqrt{1+x}\le 1+\frac{x}{2}$. (1 pt)
   Voir la correction

   1. (a) $f(4)=\sqrt{9}=3$. Pour $x\in [-\frac{1}{2},+\infty [$, $x\ne 4$, le taux d'accroissement de $f$ entre $4$ et $x$ vaut, avec la quantité conjuguée : $\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=\frac{\sqrt{2x+1}-3}{x-4}=\frac{(2x+1)-9}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}=\frac{2(x-4)}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)}=\frac{2}{\sqrt{2x+1}+3}$. Quand $x\to 4$, $\sqrt{2x+1}\to 3$, donc ${\lim }_{x\to 4}\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=\frac{2}{3+3}=\frac{1}{3}$. Cette limite existe et est finie : $f$ est dérivable en $4$ et $f^{\prime }(4)=\frac{1}{3}$. (b) Tangente au point d'abscisse $4$ : $y=f^{\prime }(4)(x-4)+f(4)=\frac{1}{3}(x-4)+3$, soit $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$.
   2. (a) $g=\frac{u}{v}$ avec $u(x)=x^2+1$, $u^{\prime }(x)=2x$, $v(x)=x-2$, $v^{\prime }(x)=1$ ; sur $]2,+\infty [$, $v$ ne s'annule pas : $g^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{2x(x-2)-(x^2+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-4x-x^2-1}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-1}{(x-2{)}^2}$. (b) $(\cos (2x){)}^{\prime }=-2\sin (2x)$ (dérivée d'une composée) et $(x\sin x{)}^{\prime }=1\times \sin x+x\cos x$ (dérivée d'un produit). Donc $h^{\prime }(x)=-2\sin (2x)+\sin x+x\cos x$. (c) $k=\sqrt{u}$ avec $u(x)=x^2+3>0$ et $u^{\prime }(x)=2x$ : $k^{\prime }(x)=u^{\prime }\frac{x}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$.
   3. Pour $x>0$ : ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{1+x}}=\frac{\sqrt{1+x}-1}{2\sqrt{1+x}}$. Pour $x>0$, on a $1+x>1$ donc $\sqrt{1+x}>1$ et ${\phi }^{\prime }(x)>0$ : $\phi$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$. Comme $\phi (0)=1+0-\sqrt{1}=0$, on obtient pour tout $x\ge 0$ : $\phi (x)\ge \phi (0)=0$, c'est-à-dire $1+\frac{x}{2}-\sqrt{1+x}\ge 0$, soit $\sqrt{1+x}\le 1+\frac{x}{2}$.

3. Exercice 3Limites et dérivation8 pts

   Chapitres : Les limites d'une fonction numérique · La dérivation d'une fonction numérique

   Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$. (0,5 pt)
   2. (a) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$. (1 pt) (b) Calculer ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ et ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)$, puis interpréter graphiquement les résultats. (1 pt)
   3. (a) Vérifier que pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}$, puis montrer que la droite $(\Delta )$ d'équation $y=x+1$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$. (1 pt) (b) Étudier la position relative de $(C_f)$ et de $(\Delta )$. (1 pt)
   4. (a) Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f^{\prime }(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. (1 pt) (b) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. (1,5 pt)
   5. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d'abscisse $2$. (1 pt)
   Voir la correction

   1. $f(x)$ existe si et seulement si $x-1\ne 0$ : $D_f=]-\infty ,1[\cup ]1,+\infty [$.
   2. (a) En $\pm \infty$, on factorise par les termes dominants : $f(x)=\frac{x^2(1+\frac{3}{x^2})}{x(1-\frac{1}{x})}=x\times \frac{1+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}$. Le quotient $\frac{1+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}$ tend vers $1$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$. (b) Quand $x\to 1$, le numérateur $x^2+3$ tend vers $4>0$ et le dénominateur $x-1$ tend vers $0$. Si $x\to 1^{+}$, $x-1\to 0^{+}$ et ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$ ; si $x\to 1^{-}$, $x-1\to 0^{-}$ et ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$. Interprétation : *la droite d'équation $x=1$ est une asymptote verticale à $(C_f)$*.
   3. (a) Pour $x\ne 1$ : $x+1+\frac{4}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+4}{x-1}=\frac{x^2-1+4}{x-1}=\frac{x^2+3}{x-1}=f(x)$. Alors $f(x)-(x+1)=\frac{4}{x-1}$ et ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-1}=0$ : *la droite $(\Delta ):y=x+1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$*. (b) $f(x)-(x+1)=\frac{4}{x-1}$ est du signe de $x-1$ :

   • sur $]1,+\infty [$, $f(x)-(x+1)>0$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(\Delta )$ ;
   • sur $]-\infty ,1[$, $f(x)-(x+1)<0$ : $(C_f)$ est au-dessous de $(\Delta )$. La courbe ne coupe jamais son asymptote.

   1. (a) En dérivant l'écriture $f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}$ (avec $(\frac{1}{u}{)}^{\prime }=-u^{\prime }/u^2$) : $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1-2)(x-1+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. (On peut aussi dériver le quotient : $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$, et $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$.) (b) Sur $D_f$, $(x-1{)}^2>0$ : $f^{\prime }(x)$ a le signe de $(x-3)(x+1)$, trinôme de racines $-1$ et $3$, positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc $f^{\prime }(x)>0$ sur $]-\infty ,-1[$ et sur $]3,+\infty [$, $f^{\prime }(x)<0$ sur $]-1,1[$ et sur $]1,3[$, et $f^{\prime }$ s'annule en $-1$ et en $3$. Valeurs : $f(-1)=\frac{1+3}{-1-1}=-2$ et $f(3)=\frac{9+3}{3-1}=6$.

   $x$	$-\infty$	$-1$	$1$	$3$	$+\infty$
   $f^{\prime }(x)$	$+$	$0-$	‖	$-0$	$+$
   $f(x)$	$-\infty$ ↗	$-2$ ↘	$-\infty$ ‖ $+\infty$	↘ $6$	↗ $+\infty$

   $f$ est croissante sur $]-\infty ,-1]$, décroissante sur $[-1,1[$ et sur $]1,3]$, croissante sur $[3,+\infty [$ ; $f(-1)=-2$ est un maximum local et $f(3)=6$ un minimum local.

   1. $f(2)=\frac{4+3}{2-1}=7$ et $f^{\prime }(2)=\frac{(2-3)(2+1)}{(2-1{)}^2}=-3$. La tangente au point d'abscisse $2$ a pour équation $y=f^{\prime }(2)(x-2)+f(2)=-3(x-2)+7$, soit $(T):y=-3x+13$.