Suites et placement financier, dénombrement, étude d'une fonction logarithme

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques et placement financier4 pts

   Chapitres : Suites numériques (convergence + finance) · Mathématiques financières

   Une entreprise place un capital de 50 000 DH à intérêts composés au taux annuel de 3 %. On note C_n le capital acquis après n années.

   1. Calculer C_1 et C_2.
   2. Justifier que (C_n) est une suite géométrique et exprimer C_n en fonction de n.
   3. Calculer C_5 (arrondir au dirham).
   4. À partir de quelle année le capital dépasse-t-il 70 000 DH ?
   5. L'entreprise décide plutôt de verser 2 000 DH à la fin de chaque année pendant 5 ans sur un compte au même taux. Montrer que la valeur acquise juste après le cinquième versement est V = 2 000 × (1,03⁵ - 1)/(0,03) et la calculer (arrondir au dirham).
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   1. C_1 = 50 000 × 1,03 = 51 500 DH et C_2 = 51 500 × 1,03 = 53 045 DH.
   2. Chaque année le capital est multiplié par 1,03 : C_(n+1) = 1,03 C_n. (C_n) est géométrique de raison 1,03 et de premier terme 50 000, donc C_n = 50 000 × 1,03^n.
   3. C_5 = 50 000 × 1,03⁵ ≈ 50 000 × 1,15927 ≈ 57 964 DH.
   4. C_n ≥ 70 000 ≤⇒ 1,03^n ≥ 1,4 ≤⇒ n ln 1,03 ≥ ln 1,4 ≤⇒ n ≥ 0,3365/(0,0296) ≈ 11,4. Le capital dépasse 70 000 DH à partir de la 12ᵉ année.
   5. Le premier versement est capitalisé 4 ans, le deuxième 3 ans, … , le cinquième 0 an : V = 2 000 (1,03⁴ + 1,03³ + 1,03² + 1,03 + 1), somme de 5 termes d'une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme 1 : V = 2 000 × (1,03⁵ - 1)/(1,03 - 1). Numériquement V ≈ 2 000 × 0,15927/(0,03) ≈ 10 618 DH.

2. Exercice 2Dénombrement et probabilités4 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Une entreprise compte 12 employés : 7 femmes et 5 hommes. On choisit au hasard un comité de 3 personnes.

   1. Combien de comités différents peut-on former ?
   2. Calculer la probabilité de l'événement A : « le comité ne comporte que des femmes ».
   3. Calculer la probabilité de l'événement B : « le comité comporte au moins un homme ».
   4. Calculer la probabilité de l'événement C : « le comité comporte exactement deux femmes ».
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   1. binom(12, 3) = (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1) = 220 comités.
   2. P(A) = binom(7, 3)/220 = 35/220 = 7/44.
   3. B est l'événement contraire de A : P(B) = 1 - 7/44 = 37/44.
   4. Deux femmes parmi 7 et un homme parmi 5 : binom(7, 2) × binom(5, 1) = 21 × 5 = 105 comités. P(C) = 105/220 = 21/44.

3. Exercice 3Étude d'une fonction12 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral

   Soit f la fonction définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x - 1 - ln x, et (cal(C)) sa courbe dans un repère orthonormé (O, vec(i), vec(j)) (unité : 2 cm).

   Partie A.

   1. Calculer lim(x → 0^+) f(x) et interpréter graphiquement.
   2. Calculer lim(x → +∞) f(x).
   3. Calculer lim(x → +∞) f(x)/x et lim(x → +∞) (f(x) - x) ; interpréter graphiquement.
   4. Montrer que pour tout x > 0 : f'(x) = (x - 1)/x.
   5. Dresser le tableau de variations de f.
   6. En déduire le signe de f(x) sur ]0, +∞[.

   Partie B.

   1. Déterminer une équation de la tangente (T) à (cal(C)) au point d'abscisse e.
   2. Tracer (T) et (cal(C)).

   Partie C.

   1. Montrer que la fonction G : x → x ln x - x est une primitive de ln sur ]0, +∞[.
   2. Calculer ∫_1^e ln x d x.
   3. En déduire ∫_1^e f(x) d x, puis l'aire, en cm""², du domaine délimité par (cal(C)), l'axe des abscisses et les droites x = 1 et x = e (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10^(-2) près, avec e ≈ 2,718).
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   Partie A.

   1. lim(x → 0^+) ln x = -∞, donc lim(x → 0^+) f(x) = +∞ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale à (cal(C)).
   2. f(x) = x(1 - 1/x - (ln x)/x) ; comme (ln x)/x → 0, la parenthèse tend vers 1 et lim(x → +∞) f(x) = +∞.
   3. f(x)/x = 1 - 1/x - (ln x)/x → 1 et f(x) - x = -1 - ln x → -∞ : (cal(C)) admet une branche parabolique de direction la droite y = x.
   4. f'(x) = 1 - 1/x = (x - 1)/x.
   5. Sur ]0, +∞[, f'(x) a le signe de x - 1 : f est décroissante sur ]0, 1] et croissante sur [1, +∞[, avec un minimum f(1) = 0.
   6. Pour tout x > 0, f(x) ≥ f(1) = 0, avec égalité seulement en x = 1.

   Partie B.

   1. f(e) = e - 2 et f'(e) = 1 - 1/e : (T) : y = (1 - 1/e)(x - e) + e - 2 = (1 - 1/e) x - 1.
   2. Tracé : asymptote verticale x = 0, minimum (1, 0) où la courbe est tangente à l'axe des abscisses, croissance ensuite, branche parabolique de direction y = x.

   Partie C.

   1. G'(x) = ln x + x × 1/x - 1 = ln x.
   2. ∫_1^e ln x d x = G(e) - G(1) = (e - e) - (0 - 1) = 1.
   3. ∫_1^e f(x) d x = [x²/2 - x]_1^e - 1 = (e²/2 - e) - (1/2 - 1) - 1 = e²/2 - e - 1/2. Comme f ≥ 0, c'est l'aire du domaine en unités d'aire ; l'unité d'aire vaut 4 cm""², donc l'aire est 2e² - 4e - 2 ≈ 14,78 - 10,87 - 2 ≈ 1,90 cm""².